7.1 भूमिका

हमने अब तक दिष्ट धारा (dc) स्रोतों और dc स्रोतों वाले परिपथों पर विचार किया है। ये धाराएँ समय के साथ दिशा नहीं बदलती हैं। लेकिन समय के साथ परिवर्तित होने वाले वोल्टेज और धाराएँ बहुत आम हैं। हमारे घरों और कार्यालयों में विद्युत मेन्स आपूर्ति एक ऐसा वोल्टेज है जो समय के साथ साइन फलन की तरह बदलता है। ऐसे वोल्टेज को प्रत्यावर्ती वोल्टेज (ac वोल्टेज) कहा जाता है और इसके द्वारा एक परिपथ में प्रवाहित धारा को प्रत्यावर्ती धारा (ac धारा)* कहा जाता है। आजकल, हम जिन अधिकांश विद्युत उपकरणों का उपयोग करते हैं, उन्हें ac वोल्टेज की आवश्यकता होती है। यह मुख्य रूप से इसलिए है क्योंकि बिजली कंपनियों द्वारा बेची जाने वाली अधिकांश विद्युत ऊर्जा प्रत्यावर्ती धारा के रूप में प्रेषित और वितरित की जाती है। dc वोल्टेज पर ac वोल्टेज के उपयोग को प्राथमिकता देने का मुख्य कारण यह है कि ac वोल्टेज को ट्रांसफॉर्मर की सहायता से आसानी और कुशलता से एक वोल्टेज से दूसरे वोल्टेज में परिवर्तित किया जा सकता है। इसके अलावा, विद्युत ऊर्जा को लंबी दूरी पर आर्थिक रूप से प्रसारित भी किया जा सकता है। AC परिपथ ऐसी विशेषताएँ प्रदर्शित करते हैं जिनका दैनिक उपयोग के कई उपकरणों में दोहन किया जाता है। उदाहरण के लिए, जब भी हम अपने रेडियो को किसी पसंदीदा स्टेशन पर ट्यून करते हैं, तो हम ac परिपथों के एक विशेष गुण का लाभ उठा रहे होते हैं - इस अध्याय में आप जिनमें से एक का अध्ययन करेंगे।

• वाक्यांश ac वोल्टेज और ac धारा क्रमशः विरोधाभासी और अनावश्यक हैं, क्योंकि उनका शाब्दिक अर्थ है, प्रत्यावर्ती धारा वोल्टेज और प्रत्यावर्ती धारा धारा। फिर भी, सरल आवर्ती समय निर्भरता प्रदर्शित करने वाली विद्युत राशि को निर्दिष्ट करने के लिए संक्षिप्त नाम ac इतना सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत हो गया है कि हम इसके उपयोग में दूसरों का अनुसरण करते हैं। इसके अलावा, वोल्टेज – एक अन्य सामान्यतः प्रयुक्त वाक्यांश का अर्थ है दो बिंदुओं के बीच विभवांतर

7.2 एक प्रतिरोधक पर लगाया गया AC वोल्टेज

>

निकोला टेस्ला (1856 –1943) सर्बियाई-अमेरिकी वैज्ञानिक, आविष्कारक और प्रतिभाशाली। उन्होंने घूर्णन चुंबकीय क्षेत्र के विचार की कल्पना की, जो व्यावहारिक रूप से सभी प्रत्यावर्ती धारा मशीनरी का आधार है, और जिसने विद्युत शक्ति के युग में प्रवेश करने में मदद की। उन्होंने अन्य चीजों के अलावा प्रेरण मोटर, ac शक्ति की बहु-कला प्रणाली, और उच्च आवृत्ति प्रेरण कुंडली (टेस्ला कॉइल) का भी आविष्कार किया जिसका उपयोग रेडियो और टेलीविजन सेट तथा अन्य इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों में किया जाता है। चुंबकीय क्षेत्र की SI इकाई का नाम उनके सम्मान में रखा गया है।

चित्र 7.1 एक प्रतिरोधक को एक ac वोल्टेज स्रोत $\varepsilon$ से जुड़ा हुआ दिखाता है। एक परिपथ आरेख में ac स्रोत का प्रतीक $\Theta$ है। हम एक ऐसे स्रोत पर विचार करते हैं जो अपने टर्मिनलों के बीच साइनसॉइडली परिवर्तित विभवांतर उत्पन्न करता है। मान लीजिए कि यह विभवांतर, जिसे ac वोल्टेज भी कहा जाता है, निम्न द्वारा दिया गया है

$$ \begin{equation*} v=v_{m} \sin \omega t \tag{7.1} \end{equation*} $$

जहाँ $v_{m}$ दोलनशील विभवांतर का आयाम है और $\omega$ इसकी कोणीय आवृत्ति है।

चित्र 7.1 प्रतिरोधक पर लगाया गया AC वोल्टेज।

प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा का मान ज्ञात करने के लिए, हम किरचॉफ का लूप नियम $\sum \varepsilon(t)=0$ (अनुभाग 3.13 देखें) चित्र 7.1 में दिखाए गए परिपथ पर लागू करते हैं, तो प्राप्त होता है

$ v_{m} \sin \omega t=i R $

या $i=\frac{v_{m}}{R} \sin \omega t$

चूँकि $R$ एक स्थिरांक है, हम इस समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं

$$ \begin{equation*} i=i_{m} \sin \omega t \tag{7.2} \end{equation*} $$

जहाँ धारा आयाम $i_{m}$ निम्न द्वारा दिया गया है

$$ \begin{equation*} i_{m}=\frac{v_{m}}{R} \tag{7.3} \end{equation*} $$

चित्र 7.2 एक शुद्ध प्रतिरोधक में, वोल्टेज और धारा समान कला में होते हैं। न्यूनतम, शून्य और अधिकतम मान संबंधित समय पर एक साथ घटित होते हैं।

समीकरण (7.3) ओम का नियम है, जो प्रतिरोधकों के लिए, ac और dc दोनों वोल्टेज के लिए समान रूप से कार्य करता है। एक शुद्ध प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज और उससे प्रवाहित धारा, जो समीकरण (7.1) और (7.2) द्वारा दी गई है, को चित्र 7.2 में समय के फलन के रूप में आलेखित किया गया है। विशेष रूप से ध्यान दें कि दोनों $v$ और $i$ एक ही समय पर शून्य, न्यूनतम और अधिकतम मान तक पहुँचते हैं। स्पष्ट है कि वोल्टेज और धारा एक दूसरे के साथ समान कला में हैं।

हम देखते हैं कि लगाए गए वोल्टेज की तरह, धारा भी साइनसॉइडली बदलती है और प्रत्येक चक्र के दौरान संगत धनात्मक और ऋणात्मक मान रखती है। इस प्रकार, एक पूर्ण चक्र पर तात्क्षणिक धारा मानों का योग शून्य है, और औसत धारा शून्य है। हालाँकि, यह तथ्य कि औसत धारा शून्य है, इसका मतलब यह नहीं है कि खपत की गई औसत शक्ति शून्य है और विद्युत ऊर्जा का क्षय नहीं होता है। जैसा कि आप जानते हैं, जूल तापन $i^{2} R$ द्वारा दिया जाता है और $i^{2}$ पर निर्भर करता है (जो हमेशा धनात्मक रहता है चाहे $i$ धनात्मक हो या ऋणात्मक) न कि $i$ पर। इस प्रकार, जब एक ac धारा एक प्रतिरोधक से गुजरती है तो जूल तापन और विद्युत ऊर्जा का क्षय होता है।

जॉर्ज वेस्टिंगहाउस (1846 – 1914) दिष्ट धारा पर प्रत्यावर्ती धारा के उपयोग के एक प्रमुख समर्थक। इस प्रकार, वे थॉमस अल्वा एडिसन, जो दिष्ट धारा के पक्षधर थे, के साथ संघर्ष में आए। वेस्टिंगहाउस आश्वस्त थे कि प्रत्यावर्ती धारा की प्रौद्योगिकी विद्युत भविष्य की कुंजी थी। उन्होंने अपने नाम पर प्रसिद्ध कंपनी की स्थापना की और उच्च तनाव धारा के संचरण के लिए प्रत्यावर्ती धारा मोटर और उपकरणों के विकास में निकोला टेस्ला और अन्य आविष्कारकों की सेवाएँ लीं, बड़े पैमाने पर प्रकाश व्यवस्था में अग्रणी रहे।

प्रतिरोधक में क्षयित तात्क्षणिक शक्ति है

$$ \begin{equation*} p=i^{2} R=i_{m}^{2} R \sin ^{2} \omega t \tag{7.4} \end{equation*} $$

एक चक्र पर $p$ का औसत मान* है

$$ \begin{equation*} \bar{p}=<i^{2} R>=<i_{m}^{2} R \sin ^{2} \omega t> \tag{7.5 a} \end{equation*} $$

जहाँ किसी अक्षर के ऊपर बार (यहाँ, $p$) उसके औसत मान को दर्शाता है और $<\ldots . .>$ कोष्ठक के अंदर की राशि का औसत लेने को दर्शाता है। चूँकि, $i_{m}^{2}$ और $R$ स्थिरांक हैं,

$$ \begin{equation*} \bar{p}=i_{m}^{2} R<\sin ^{2} \omega t> \tag{7.5 b} \end{equation*} $$

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका, $\sin ^{2} \omega t=$ $1 / 2(1-\cos 2 \omega t)$ का उपयोग करते हुए, हमारे पास $\left.<\sin ^{2} \omega t>=(1 / 2)(1-<\cos 2 \omega t \right)$ है और चूँकि $<\cos 2 \omega t>=0^{*}$, हमारे पास है,

$$ <\sin ^{2} \omega t>=\frac{1}{2} $$

इस प्रकार,

$$ \begin{equation*} \bar{p}=\frac{1}{2} i_{m}^{2} R \tag{7.5 c} \end{equation*} $$

ac शक्ति को dc शक्ति $\left(P=I^{2} R\right)$ के समान रूप में व्यक्त करने के लिए, धारा के एक विशेष मान को परिभाषित और उपयोग किया जाता है। इसे वर्ग माध्य मूल (rms) या प्रभावी धारा (चित्र 7.3) कहा जाता है और इसे $I_{r m s}$ या $I$ द्वारा निरूपित किया जाता है।

चित्र 7.3 rms धारा $I$ शीर्ष धारा $i_{m}$ से $I=i_{m} / \sqrt{2}=0.707 i_{m}$ द्वारा संबंधित है।

• किसी फलन $F(t)$ का आवर्तकाल $T$ पर औसत मान $\langle F(t)\rangle=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} F(t) \mathrm{d} t$ द्वारा दिया जाता है

$<\cos 2 \omega t> \text{=} \frac{1}{T} \int_{0}^{T}\cos 2 \omega tdt \text{=} \frac{1}{T}[\large\frac{\sin 2 \omega t}{2 \omega}]_{0}^{T} \text{=}\frac{1}{2 \omega T}[\sin 2 \omega \text{-}0]=0$

इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$$ \begin{align*} I=\sqrt{\overline{i^{2}}} & =\sqrt{\frac{1}{2} i_{m}^{2}}=\frac{i_{m}}{\sqrt{2}} \\ & =0.707 i_{m} \tag{7.6} \end{align*} $$

$I$ के पदों में, औसत शक्ति, जिसे $P$ द्वारा निरूपित किया जाता है, है

$$ \begin{equation*} P=\bar{p}=\frac{1}{2} i_{m}^{2} R=I^{2} R \tag{7.7} \end{equation*} $$

इसी प्रकार, हम rms वोल्टेज या प्रभावी वोल्टेज को इस प्रकार परिभाषित करते हैं

$$ \begin{equation*} V=\frac{v_{m}}{\sqrt{2}}=0.707 v_{m} \tag{7.8} \end{equation*} $$

समीकरण (7.3) से, हमारे पास है

$$ v_{m}=i_{m} R $$

या, $\frac{v_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{i_{m}}{\sqrt{2}} R$

या, $V=I R$

समीकरण (7.9) ac धारा और ac वोल्टेज के बीच संबंध देता है और dc के मामले के समान है। यह rms मानों की अवधारणा को प्रस्तुत करने के लाभ को दर्शाता है। rms मानों के पदों में, शक्ति के लिए समीकरण [समीकरण (7.7)] और ac परिपथों में धारा और वोल्टेज के बीच संबंध अनिवार्य रूप से dc मामले के समान ही हैं।

ac राशियों के लिए rms मानों को मापना और निर्दिष्ट करना प्रथागत है। उदाहरण के लिए, घरेलू लाइन वोल्टेज $220 \mathrm{~V}$ एक $\mathrm{rms}$ मान है जिसका शीर्ष वोल्टेज है

$$ v_{m}=\sqrt{2} \quad V=(1.414)(220 \mathrm{~V})=311 \mathrm{~V} $$

वास्तव में, $I$ या rms धारा वह समतुल्य dc धारा है जो प्रत्यावर्ती धारा के समान औसत शक्ति क्षय उत्पन्न करेगी। समीकरण (7.7) को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है

$$ P=V^{2} / R=I V \quad(\text { since } V=I R) $$

उदाहरण 7.1 एक लाइट बल्ब को $100 \mathrm{~W}$ $220 \mathrm{~V}$ आपूर्ति के लिए रेट किया गया है। ज्ञात कीजिए (a) बल्ब का प्रतिरोध; (b) स्रोत का शीर्ष वोल्टेज; और (c) बल्ब से प्रवाहित rms धारा।

हल

(a) हमें $P=100 \mathrm{~W}$ और $V=220 \mathrm{~V}$ दिया गया है। बल्ब का प्रतिरोध है

$$ R=\frac{V^{2}}{P}=\frac{(220 \mathrm{~V})^{2}}{100 \mathrm{~W}}=484 \Omega $$

(b) स्रोत का शीर्ष वोल्टेज है

$$ v_{m}=\sqrt{2} \mathrm{~V}=311 \mathrm{~V} $$

(c) चूँकि, $P=I V$

$$ I=\frac{P}{V}=\frac{100 \mathrm{~W}}{220 \mathrm{~V}}=0.454 \mathrm{~A} $$

7.3 घूर्णन सदिशों द्वारा AC धारा और वोल्टेज का निरूपण - फेजर

पिछले अनुभाग में, हमने सीखा कि एक प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा ac वोल्टेज के साथ समान कला में होती है। लेकिन यह एक प्रेरक, एक संधारित्र या इन परिपथ अवयवों के संयोजन के मामले में ऐसा नहीं है। एक ac परिपथ में वोल्टेज और धारा के बीच कला संबंध दर्शाने के लिए, हम फेजर की अवधारणा का उपयोग करते हैं। एक ac परिपथ का विश्लेषण फेजर आरेख के उपयोग से सुगम हो जाता है। एक फेजर* एक सदिश है जो मूल बिंदु के परितः कोणीय चाल $\omega$ से घूमता है, जैसा कि चित्र 7.4 में दिखाया गया है। फेजर $\mathbf{V}$ और $\mathbf{I}$ के ऊर्ध्वाधर घटक साइनसॉइडली परिवर्तित राशियों $v$ और $i$ को निरूपित करते हैं। फेजर $\mathbf{V}$ और $\mathbf{I}$ के परिमाण इन दोलनशील राशियों के आयाम या शीर्ष मान $v_{m}$ और $i_{m}$ को निरूपित करते हैं। चित्र 7.4(a) वोल्टेज और धारा फेजर और समय $t_{1}$ पर उनके संबंध को एक ac स्रोत से जुड़े प्रतिरोधक के मामले के लिए दिखाता है अर्थात चित्र 7.1 में दिखाए गए परिपथ के संगत। ऊर्ध्वाधर अक्ष पर वोल्टेज और धारा फेजर के प्रक्षेपण, अर्थात क्रमशः $v_{m} \sin \omega t$ और $i_{m} \sin \omega t$, उस क्षण वोल्टेज और धारा के मान को निरूपित करते हैं। जैसे ही वे आवृत्ति $\omega$ से घूमते हैं, चित्र 7.4(b) में वक्र उत्पन्न होते हैं।

चित्र 7.4 (a) चित्र 7.1 में परिपथ के लिए एक फेजर आरेख। (b) $v$ और $i$ बनाम $\omega t$ का आलेख।

चित्र 7.4(a) से हम देखते हैं कि एक प्रतिरोधक के मामले के लिए फेजर $\mathbf{V}$ और $\mathbf{I}$ एक ही दिशा में हैं। यह सभी समय के लिए सत्य है। इसका मतलब है कि वोल्टेज और धारा के बीच कला कोण शून्य है।

7.4 एक प्रेरक पर लगाया गया AC वोल्टेज

चित्र 7.5 एक ac स्रोत को एक प्रेरक से जुड़ा हुआ दिखाता है। आमतौर पर, प्रेरकों के कुंडलन में पर्याप्त प्रतिरोध होता है, लेकिन हम मान लेंगे कि इस प्रेरक का नगण्य प्रतिरोध है। इस प्रकार, परिपथ एक शुद्ध प्रेरणिक ac परिपथ है। मान लीजिए स्रोत के सिरों पर वोल्टेज $v=v_{m} \sin \omega t$ है। किरचॉफ के लूप नियम, $\sum \varepsilon(t)=0$ का उपयोग करते हुए, और चूँकि परिपथ में कोई प्रतिरोधक नहीं है,

$$ \begin{equation*} v-L \frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{~d} t}=0 \tag{7.10} \end{equation*} $$

जहाँ दूसरा पद प्रेरक में स्व-प्रेरित फैराडे विद्युत वाहक बल है; और $L$ की स्व-प्रेरकत्व है

चित्र 7.5 एक प्रेरक से जुड़ा एक ac स्रोत।

• हालाँकि ac परिपथ में वोल्टेज और धारा को फेजर - घूर्णन सदिशों द्वारा निरूपित किया जाता है, वे स्वयं सदिश नहीं हैं। वे अदिश राशियाँ हैं। ऐसा होता है कि आवर्ती रूप से परिवर्तित अदिश राशियों के आयाम और कलाएँ गणितीय रूप से उसी तरह संयोजित होते हैं जैसे संगत परिमाण और दिशाओं के घूर्णन सदिशों के प्रक्षेपण संयोजित होते हैं। आवर्ती रूप से परिवर्तित अदिश राशियों को निरूपित करने वाले ‘घूर्णन सदिश’ केवल हमें इन राशियों को जोड़ने का एक सरल तरीका प्रदान करने के लिए प्रस्तुत किए जाते हैं, जिसमें हम पहले से जानते हैं कि सदिश योग के नियम का उपयोग करना है।

प्रेरक। ऋणात्मक चिह्न लेंज के नियम (अध्याय 6) का अनुसरण करता है। समीकरण (7.1) और (7.10) को संयोजित करते हुए, हमारे पास है

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{~d} t}=\frac{v}{L}=\frac{v_{m}}{L} \sin \omega t \tag{7.11} \end{equation*} $$

समीकरण (7.11) का तात्पर्य है कि $i(t)$, समय के फलन के रूप में धारा के लिए समीकरण, ऐसा होना चाहिए कि इसकी प्रवणता $\mathrm{d} i / \mathrm{d} t$ एक साइनसॉइडली परिवर्तित राशि हो, स्रोत वोल्टेज के समान कला के साथ और $v_{m} / L$ द्वारा दिए गए आयाम के साथ। धारा प्राप्त करने के लिए, हम $\mathrm{d} i / \mathrm{d} t$ का समय के सापेक्ष समाकलन करते हैं:

$$ \int \frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{~d} t} \mathrm{~d} t=\frac{v_{m}}{L} \int \sin (\omega t) \mathrm{d} t $$

और प्राप्त करते हैं,

$$ i=-\frac{v_{m}}{\omega L} \cos (\omega t)+\text { constant } $$

समाकलन स्थिरांक का विमा धारा के समान है और यह समय-स्वतंत्र है। चूँकि स्रोत का एक विद्युत वाहक बल है जो शून्य के परितः सममित रूप से दोलन करता है, यह जिस धारा को बनाए रखता है वह भी शून्य के परितः सममित रूप से दोलन करती है, ताकि धारा का कोई स्थिर या समय-स्वतंत्र घटक मौजूद न हो। इसलिए, समाकलन स्थिरांक शून्य है। उपयोग करते हुए

$$ -\cos (\omega t)=\sin \omega t-\frac{\pi}{2} \text {, we have } $$

$$ \begin{equation*} i=i_{m} \sin \omega t-\frac{\pi}{2} \tag{7.12} \end{equation*} $$

जहाँ $i_{m}=\frac{v_{m}}{\omega L}$ धारा का आयाम है। राशि $\omega L$ प्रतिरोध के अनुरूप है और इसे प्रेरणिक प्रतिघात कहा जाता है, जिसे $X_{L}$ द्वारा निरूपित किया जाता है:

$$ \begin{equation*} X_{L}=\omega L \tag{7.13} \end{equation*} $$

धारा का आयाम, तब है

$$ \begin{equation*} i_{m}=\frac{v_{m}}{X_{L}} \tag{7.14} \end{equation*} $$

प्रेरणिक प्रतिघात की विमा प्रतिरोध के समान है और इसकी SI इकाई ओम $(\Omega)$ है। प्रेरणिक प्रतिघात एक शुद्ध प्रेरणिक परिपथ में धारा को उसी तरह सीमित करता है जैसे प्रतिरोध एक शुद्ध प्रतिरोधी परिपथ में धारा को सीमित करता है। प्रेरणिक प्रतिघात प्रेरकत्व और धारा की आवृत्ति के समानुपाती होता है।

एक प्रेरक में स्रोत वोल्टेज और धारा के लिए समीकरण (7.1) और (7.12) की तुलना से पता चलता है कि धारा वोल्टेज से $\pi / 2$ या एक-चौथाई (1/4) चक्र से पीछे रहती है। चित्र 7.6 (a) वर्तमान मामले में क्षण $t_{1}$ पर वोल्टेज और धारा फेजर दिखाता है। धारा फेजर $\mathbf{I}$, वोल्टेज फेजर $\mathbf{V}$ से $\pi / 2$ पीछे है। जब उन्हें आवृत्ति $\omega$ से वामावर्त घुमाया जाता है, तो वे समीकरण (7.1) और (7.12) द्वारा दिए गए वोल्टेज और धारा उत्पन्न करते हैं, जैसा कि चित्र 7.6(b) में दिखाया गया है।

चित्र 7.6 (a) चित्र 7.5 में परिपथ के लिए एक फेजर आरेख। (b) $v$ और $i$ बनाम $\omega t$ का आलेख।

हम देखते हैं कि धारा वोल्टेज की तुलना में एक-चौथाई आवर्तकाल $\left[\frac{T}{4}=\frac{\pi / 2}{\omega}\right]$ बाद में अपने अधिकतम मान तक पहुँचती है। आपने देखा है कि एक प्रेरक में प्रतिघात होता है जो एक dc परिपथ में प्रतिरोध के समान धारा को सीमित करता है। क्या यह एक प्रतिरोध की तरह शक्ति की खपत भी करता है? आइए जानने की कोशिश करते हैं।

प्रेरक को आपूर्ति की गई तात्क्षणिक शक्ति है

$$ \begin{aligned} p_{L}=i v & =i_{m} \sin \omega t-\frac{\pi}{2} \times v_{m} \sin (\omega t) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} & =-i_{m} v_{m} \cos (\omega t) \sin (\omega t) \\ & =-\frac{i_{m} v_{m}}{2} \sin (2 \omega t) \end{aligned} $$

इसलिए, एक पूर्ण चक्र पर औसत शक्ति है

$$ \begin{aligned} P _{\mathrm{L}} & =\left\langle-\frac{i _{m} v _{m}}{2} \sin (2 \omega t)\right\rangle \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} & =-\frac{i _{m} v _{m}}{2}\langle\sin (2 \omega t)\rangle=0 \end{aligned} $$

चूँकि एक पूर्ण चक्र पर $\sin (2 \omega t)$ का औसत शून्य है।

इस प्रकार, एक प्रेरक को एक पूर्ण चक्र पर आपूर्ति की गई औसत शक्ति शून्य है।

उदाहरण 7.2 $25.0 \mathrm{mH}$ का एक शुद्ध प्रेरक $220 \mathrm{~V}$ के स्रोत से जुड़ा है। यदि स्रोत की आवृत्ति $50 \mathrm{~Hz}$ है तो परिपथ में प्रेरणिक प्रतिघात और rms धारा ज्ञात कीजिए।

हल प्रेरणिक प्रतिघात,

$$ \begin{aligned} X_{L} & =2 \pi \nu L=2 \times 3.14 \times 50 \times 25 \times 10^{-3} \Omega \\ & =7.85 \Omega \end{aligned} $$

परिपथ में rms धारा है

$$ I=\frac{V}{X_{L}}=\frac{220 \mathrm{~V}}{7.85 \Omega}=28 \mathrm{~A} $$

7.5 एक संधारित्र पर लगाया गया AC वोल्टेज

चित्र 7.7 एक ac स्रोत $\varepsilon$ को उत्पन्न करते हुए ac वोल्टेज $v=v_{m}$ sin $\omega \mathrm{t}$ दिखाता है जो केवल एक संधारित्र से जुड़ा है, एक शुद्ध धारितीय ac परिपथ।

चित्र 7.7 एक संधारित्र से जुड़ा एक ac स्रोत। एक dc परिपथ में,

जब एक संधारित्र को एक वोल्टेज स्रोत से जोड़ा जाता है तो संधारित्र को आवेशित करने के लिए आवश्यक अल्प समय के लिए धारा प्रवाहित होगी। जैसे ही संधारित्र की प्लेटों पर आवेश जमा होता है, उनके सिरों पर वोल्टेज बढ़ता है, जो धारा का विरोध करता है। अर्थात, एक dc परिपथ में एक संधारित्र धारा को सीमित या विरोध करेगा क्योंकि यह आवेशित होता है। जब संधारित्र पूरी तरह से आवेशित हो जाता है, तो परिपथ में धारा शून्य हो जाती है।

जब संधारित्र को एक ac स्रोत से जोड़ा जाता है, जैसा कि चित्र 7.7 में है, यह धारा को सीमित या नियंत्रित करता है, लेकिन आवेश के प्रवाह को पूरी तरह से रोकता नहीं है। संधारित्र प्रत्येक अर्ध चक्र में धारा के विपरीत होने पर बारी-बारी से आवेशित और विसर्जित होता है। मान लीजिए $q$ किसी समय $t$ पर संधारित्र पर आवेश है। संधारित्र के सिरों पर तात्क्षणिक वोल्टेज $v$ है

$$ \begin{equation*} v=\frac{q}{C} \tag{7.15} \end{equation*} $$

किरचॉफ के लूप नियम से, स्रोत और संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज बराबर हैं,

$$ v_{m} \sin \omega t=\frac{q}{C} $$

धारा ज्ञात करने के लिए, हम संबंध $i=\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{~d} t}$ का उपयोग करते हैं

$$ i=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(v_{m} C \sin \omega t\right)=\omega C v_{m} \cos (\omega t) $$

संबंध, $\cos (\omega t)=\sin \omega t+\frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

$$ \begin{equation*} i=i_{m} \sin \omega t+\frac{\pi}{2} \tag{7.16} \end{equation*} $$

जहाँ दोलनशील धारा का आयाम $i_{m}=\omega C v_{m}$ है। हम इसे इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं

$$ i_{m}=\frac{v_{m}}{(1 / \omega C)} $$

इसकी तुलना एक शुद्ध प्रतिरोधी परिपथ के लिए $i_{m}=v_{m} / R$ से करने पर, हम पाते हैं कि $(1 / \omega C)$ प्रतिरोध की भूमिका निभाता है। इसे धारितीय प्रतिघात कहा जाता है और इसे $X_{c}$ द्वारा निरूपित किया जाता है,

$$ \begin{equation*} X_{c}=1 / \omega C \tag{7.17} \end{equation*} $$

ताकि धारा का आयाम हो

$$ \begin{equation*} i_{m}=\frac{v_{m}}{X_{C}} \tag{7.18} \end{equation*} $$

धारितीय प्रतिघात की विमा प्रतिरोध के समान है और इसकी SI इकाई ओम $(\Omega)$ है। धारितीय प्रतिघात एक शुद्ध धारितीय परिपथ में धारा के आयाम को उसी तरह सीमित करता है जैसे प्रतिरोध एक शुद्ध प्रतिरोधी परिपथ में धारा को सीमित करता है। लेकिन यह आवृत्ति और धारिता के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

चित्र 7.8 (a) चित्र 7.8 में परिपथ के लिए एक फेजर आरेख। (b) v और i बनाम wt का आलेख।

समीकरण (7.16) की स्रोत वोल्टेज के समीकरण, समीकरण (7.1) के साथ तुलना से पता चलता है कि धारा वोल्टेज से $\pi / 2$ आगे है। चित्र 7.8(a) एक क्षण $t_{1}$ पर फेजर आरेख दिखाता है। यहाँ धारा फेजर $\mathbf{I}$, वोल्टेज फेजर $\mathbf{V}$ से $\pi / 2$ आगे है क्योंकि वे वामावर्त घूमते हैं। चित्र 7.8(b) समय के साथ वोल्टेज और धारा के परिवर्तन को दिखाता है। हम देखते हैं कि धारा वोल्टेज की तुलना में एक-चौथाई आवर्तकाल पहले अपने अधिकतम मान तक पहुँचती है।

संधारित्र को आपूर्ति की गई तात्क्षणिक शक्ति है $$ \begin{align*} p_{c} & =i v=i_{m} \cos (\omega t) v_{m} \sin (\omega t) \\ & =i_{m} v_{m} \cos (\omega t) \sin (\omega t) \\ & =\frac{i_{m} v_{m}}{2} \sin (2 \omega t) \tag{7.19} \end{align*} $$

इसलिए, एक प्रेरक के मामले की तरह, औसत शक्ति

$$ \overline{\mathrm{P}} _{C}=\left\langle\frac{i _{m} v _{m}}{2} \sin (2 \omega t)\right\rangle=\frac{i _{m} v _{m}}{2}\langle\sin (2 \omega t)\rangle=0 $$

चूँकि एक पूर्ण चक्र पर $<\sin (2 \omega t)>=0$।

इस प्रकार, हम देखते हैं कि एक प्रेरक के मामले में,