4.1 भूमिका

विद्युत और चुंबकत्व दोनों 2000 वर्षों से अधिक समय से ज्ञात हैं। हालाँकि, केवल लगभग 200 वर्ष पहले, 1820 में, यह महसूस किया गया कि वे गहराई से संबंधित हैं। 1820 की गर्मियों में एक व्याख्यान प्रदर्शन के दौरान, डेनिश भौतिक विज्ञानी हंस क्रिश्चियन ओर्स्टेड ने देखा कि एक सीधे तार में धारा ने पास के चुंबकीय कंपास सुई में एक ध्यान देने योग्य विक्षेपण उत्पन्न किया। उन्होंने इस घटना की जाँच की। उन्होंने पाया कि सुई की स्थिति एक काल्पनिक वृत्त की स्पर्शरेखा के अनुदिश है जिसका केंद्र सीधा तार है और इसका तल तार के लंबवत है। यह स्थिति चित्र 4.1(a) में दर्शाई गई है। यह तब ध्यान देने योग्य होती है जब धारा बड़ी होती है और सुई तार के पर्याप्त निकट होती है ताकि पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र को नगण्य माना जा सके। धारा की दिशा उलटने पर सुई की अभिविन्यास दिशा भी उलट जाती है [चित्र 4.1(b)]। धारा बढ़ाने या सुई को तार के और निकट लाने पर विक्षेपण बढ़ जाता है। तार के चारों ओर छिड़के गए लोहे के बुरादे स्वयं को तार को केंद्र मानकर संकेंद्रित वृत्तों में व्यवस्थित कर लेते हैं [चित्र 4.1(c)]। ओर्स्टेड ने निष्कर्ष निकाला कि गतिमान आवेशों या धाराओं ने आसपास के स्थान में एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न किया।

इसके बाद, गहन प्रयोग हुए। 1864 में, विद्युत और चुंबकत्व द्वारा पालन किए जाने वाले नियमों को जेम्स क्लर्क मैक्सवेल द्वारा एकीकृत और प्रतिपादित किया गया, जिन्होंने तब महसूस किया कि प्रकाश विद्युतचुंबकीय तरंगें हैं। रेडियो तरंगों की खोज हर्ट्ज़ ने की थी, और $19^{\text {th }}$ शताब्दी के अंत तक जे.सी.बोस और जी. मार्कोनी द्वारा उत्पादित की गई थीं। $20^{\text {th }}$ शताब्दी में एक उल्लेखनीय वैज्ञानिक और तकनीकी प्रगति हुई। यह विद्युतचुंबकत्व की हमारी बढ़ी हुई समझ और विद्युतचुंबकीय तरंगों के उत्पादन, प्रवर्धन, संचरण और संसूचन के लिए उपकरणों के आविष्कार के कारण था।

चित्र 4.1 एक सीधे लंबे धारावाही तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र। तार कागज के तल के लंबवत है। कंपास सुइयों की एक वलय तार को घेरे हुए है। सुइयों की दिशा तब दिखाई गई है जब (a) धारा कागज के तल से बाहर निकलती है, (b) धारा कागज के तल में अंदर की ओर जाती है। (c) तार के चारों ओर लोहे के बुरादे की व्यवस्था। सुई के काले सिरे उत्तरी ध्रुव का प्रतिनिधित्व करते हैं। पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव को नगण्य माना गया है।

हंस क्रिश्चियन ओर्स्टेड (1777–1851) डेनिश भौतिक विज्ञानी और रसायनज्ञ, कोपेनहेगन में प्रोफेसर। उन्होंने देखा कि एक कंपास सुई विक्षेपित होती है जब उसे विद्युत धारा प्रवाहित करने वाले तार के निकट रखा जाता है। इस खोज ने विद्युत और चुंबकीय घटनाओं के बीच संबंध का पहला प्रायोगिक प्रमाण दिया।

इस अध्याय में, हम देखेंगे कि कैसे चुंबकीय क्षेत्र गतिमान आवेशित कणों, जैसे इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन और धारावाही तारों पर बल लगाता है। हम यह भी सीखेंगे कि धाराएँ चुंबकीय क्षेत्र कैसे उत्पन्न करती हैं। हम देखेंगे कि कैसे कणों को एक साइक्लोट्रॉन में बहुत उच्च ऊर्जाओं तक त्वरित किया जा सकता है। हम अध्ययन करेंगे कि धाराओं और वोल्टेजों का पता गैल्वेनोमीटर द्वारा कैसे लगाया जाता है।

चुंबकत्व पर इस और बाद के अध्याय में, हम निम्नलिखित परिपाटी अपनाते हैं: कागज के तल से बाहर निकलने वाली धारा या क्षेत्र (विद्युत या चुंबकीय) को एक बिंदु $(\odot)$ द्वारा दर्शाया जाता है। कागज के तल में अंदर जाने वाली धारा या क्षेत्र को एक क्रॉस $(\otimes)^{*}$ द्वारा दर्शाया जाता है। चित्र 4.1(a) और 4.1(b) क्रमशः इन दो स्थितियों के अनुरूप हैं।

4.2 चुंबकीय बल

4.2.1 स्रोत और क्षेत्र

हेंड्रिक एंटून लॉरेंट्ज़ (1853 – 1928) डच सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी, लीडेन में प्रोफेसर। उन्होंने विद्युत, चुंबकत्व और यांत्रिकी के बीच संबंध की जाँच की। प्रकाश उत्सर्जकों पर चुंबकीय क्षेत्रों के प्रेक्षित प्रभाव (ज़ीमैन प्रभाव) की व्याख्या करने के लिए, उन्होंने परमाणु में विद्युत आवेशों के अस्तित्व की परिकल्पना की, जिसके लिए उन्हें 1902 में नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया। उन्होंने कुछ उलझे हुए गणितीय तर्कों द्वारा रूपांतरण समीकरणों का एक समुच्चय (उनके नाम पर, लॉरेंट्ज़ रूपांतरण समीकरण के रूप में जाना जाता है) व्युत्पन्न किया, लेकिन वे इस बात से अनभिज्ञ थे कि ये समीकरण अंतरिक्ष और समय की एक नई अवधारणा पर निर्भर करते हैं।

चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B}$ की अवधारणा प्रस्तुत करने से पहले, हम अध्याय 1 में विद्युत क्षेत्र $\mathbf{E}$ के बारे में जो सीख चुके हैं उसका स्मरण करेंगे। हमने देखा है कि दो आवेशों के बीच की अंत:क्रिया को दो चरणों में माना जा सकता है। आवेश $\mathrm{Q}$, क्षेत्र का स्रोत, एक विद्युत क्षेत्र $\mathbf{E}$ उत्पन्न करता है, जहाँ

• एक बिंदु आपकी ओर निशाना लगाए तीर की नोक की तरह दिखता है, एक क्रॉस आपसे दूर जाते हुए तीर के पंखदार पूँछ की तरह है।

$$ \begin{equation*} \mathbf{E}=\mathrm{Q} \hat{\mathbf{r}} /\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right) r^{2} \tag{4.1} \end{equation*} $$

जहाँ $\hat{\mathbf{r}}$ $\mathbf{r}$ के अनुदिश इकाई सदिश है, और क्षेत्र $\mathbf{E}$ एक सदिश क्षेत्र है। एक आवेश $q$ इस क्षेत्र के साथ अंत:क्रिया करता है और एक बल ⟦84⟅ का अनुभव करता है जो निम्न द्वारा दिया जाता है:

$$ \begin{equation*} \mathbf{F}=q \mathbf{E}=q Q \hat{\mathbf{r}} /\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right) r^{2} \tag{4.2} \end{equation*} $$

जैसा कि अध्याय 1 में बताया गया है, क्षेत्र $\mathbf{E}$ केवल एक कृत्रिम रचना नहीं है बल्कि एक भौतिक भूमिका रखता है। यह ऊर्जा और संवेग संप्रेषित कर सकता है और तात्कालिक रूप से स्थापित नहीं होता बल्कि संचरण के लिए परिमित समय लेता है। क्षेत्र की अवधारणा पर फैराडे द्वारा विशेष रूप से बल दिया गया था और मैक्सवेल द्वारा विद्युत और चुंबकत्व के एकीकरण में इसे शामिल किया गया था। अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर निर्भर होने के अलावा, यह समय के साथ भी परिवर्तित हो सकता है, अर्थात, समय का फलन हो सकता है। इस अध्याय में हमारी चर्चाओं में, हम मानेंगे कि क्षेत्र समय के साथ नहीं बदलते हैं।

किसी विशेष बिंदु पर क्षेत्र एक या अधिक आवेशों के कारण हो सकता है। यदि अधिक आवेश हैं तो क्षेत्र सदिश रूप से जुड़ जाते हैं। आपने पहले ही अध्याय 1 में सीख लिया है कि इसे अध्यारोपण का सिद्धांत कहा जाता है। एक बार क्षेत्र ज्ञात हो जाने पर, एक परीक्षण आवेश पर बल समीकरण (4.2) द्वारा दिया जाता है।

जिस प्रकार स्थिर आवेश एक विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करते हैं, उसी प्रकार धाराएँ या गतिमान आवेश (इसके अतिरिक्त) एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं, जिसे $\mathbf{B}(\mathbf{r})$ द्वारा निरूपित किया जाता है, यह भी एक सदिश क्षेत्र है। इसके कई मूल गुण विद्युत क्षेत्र के समान हैं। यह अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित होता है (और इसके अतिरिक्त समय पर निर्भर हो सकता है)। प्रयोगात्मक रूप से, यह अध्यारोपण के सिद्धांत का पालन करता पाया गया है: कई स्रोतों का चुंबकीय क्षेत्र प्रत्येक व्यक्तिगत स्रोत के चुंबकीय क्षेत्र का सदिश योग होता है।

4.2.2 चुंबकीय क्षेत्र, लॉरेंट्ज़ बल

मान लीजिए कि एक बिंदु आवेश $q$ है (वेग $\mathbf{v}$ के साथ गतिमान और, समय $t$ पर स्थान $\mathbf{r}$ पर स्थित) जो विद्युत क्षेत्र $\mathbf{E}(\mathbf{r})$ और चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B}(\mathbf{r})$ दोनों की उपस्थिति में है। विद्युत आवेश $q$ पर उन दोनों के कारण बल को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$ \begin{equation*} \mathbf{F}=q[\mathbf{E}(\mathbf{r})+\mathbf{v} \times \mathbf{B}(\mathbf{r})] \equiv \mathbf{F_\text {electric }}+\mathbf{F_\text {magnetic }} \tag{4.3} \end{equation*} $$

इस बल को सबसे पहले एच.ए. लॉरेंट्ज़ ने एम्पीयर और अन्य के व्यापक प्रयोगों के आधार पर दिया था। इसे लॉरेंट्ज़ बल कहा जाता है। आप पहले ही विद्युत क्षेत्र के कारण बल का विस्तार से अध्ययन कर चुके हैं। यदि हम चुंबकीय क्षेत्र के साथ अंत:क्रिया देखते हैं, तो हमें निम्नलिखित विशेषताएँ मिलती हैं।

(i) यह $q, \mathbf{v}$ और $\mathbf{B}$ (कण का आवेश, वेग और चुंबकीय क्षेत्र) पर निर्भर करता है। ऋणात्मक आवेश पर बल धनात्मक आवेश पर बल के विपरीत होता है।

(ii) चुंबकीय बल $q[\mathbf{v} \times \mathbf{B}]$ में वेग और चुंबकीय क्षेत्र का एक सदिश गुणनफल शामिल है। सदिश गुणनफल के कारण चुंबकीय क्षेत्र के कारण बल लुप्त (शून्य) हो जाता है यदि वेग और चुंबकीय क्षेत्र समानांतर या प्रतिसमानांतर हों। बल एक (बगल की) दिशा में कार्य करता है जो वेग और चुंबकीय क्षेत्र दोनों के लंबवत होता है। इसकी दिशा स्क्रू नियम या सदिश (या क्रॉस) गुणनफल के लिए दाएँ हाथ के नियम द्वारा दी जाती है जैसा कि चित्र 4.2 में दर्शाया गया है।

चित्र 4.2 एक आवेशित कण पर कार्य करने वाले चुंबकीय बल की दिशा। (a) धनात्मक आवेशित कण पर बल जिसका वेग $\mathbf{v}$ है और जो चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B}$ के साथ कोण $\theta$ बनाता है, दाएँ हाथ के नियम द्वारा दिया जाता है। (b) एक गतिमान आवेशित कण $q$ चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति में $-q$ के विपरीत दिशा में विक्षेपित होता है।

(iii) चुंबकीय बल शून्य होता है यदि आवेश गतिमान नहीं है (क्योंकि तब $|\mathbf{v}|=0$)। केवल एक गतिमान आवेश ही चुंबकीय बल का अनुभव करता है।

चुंबकीय बल की अभिव्यक्ति हमें चुंबकीय क्षेत्र की इकाई को परिभाषित करने में मदद करती है, यदि कोई बल समीकरण $\mathbf{F}=q[\mathbf{v} \times \mathbf{B}]=q v B \sin \theta \hat{\mathbf{n}}$ में $q, \mathbf{F}$ और $\mathbf{v}$ सभी को एकल मान ले, जहाँ $\theta$ $\mathbf{v}$ और $\mathbf{B}$ के बीच का कोण है [चित्र 4.2 (a) देखें]। चुंबकीय क्षेत्र $B$ का परिमाण 1 SI इकाई है, जब एक इकाई आवेश $(1 \mathrm{C})$ पर, जो $\mathbf{B}$ के लंबवत $1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ की चाल से गतिमान है, कार्य करने वाला बल एक न्यूटन है।

विमीय रूप से, हमारे पास $[B]=[F / q v]$ है और $\mathbf{B}$ की इकाई न्यूटन सेकंड / (कूलॉम मीटर) है। इस इकाई को टेस्ला (T) कहा जाता है, जिसका नाम निकोला टेस्ला (1856 - 1943) के नाम पर रखा गया है। टेस्ला एक बल्कि बड़ी इकाई है। एक छोटी इकाई (गैर-SI) जिसे गॉस कहा जाता है ($\left(=10^{-4}\right.$ टेस्ला) भी अक्सर प्रयोग की जाती है। पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र लगभग $3.6 \times 10^{-5} \mathrm{~T}$ है।

4.2.3 धारावाही चालक पर चुंबकीय बल

हम एकल गतिमान आवेश पर चुंबकीय क्षेत्र के कारण बल के विश्लेषण को धारावाही सीधी छड़ तक विस्तारित कर सकते हैं। एक समान अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ और लंबाई $l$ की एक छड़ पर विचार करें। हम एक प्रकार के गतिशील वाहकों को मानेंगे जैसा कि एक चालक में होता है (यहाँ इलेक्ट्रॉन)। माना इन गतिशील आवेश वाहकों का संख्या घनत्व $n$ है। तब इसमें गतिशील आवेश वाहकों की कुल संख्या $n l A$ है। इस चालकीय छड़ में स्थायी धारा $I$ के लिए, हम मान सकते हैं कि प्रत्येक गतिशील वाहक का औसत अपवाह वेग $\mathbf{v_d}$ है (अध्याय 3 देखें)। बाह्य चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B}$ की उपस्थिति में, इन वाहकों पर बल है:

$$ \mathbf{F}=(n l A) q \mathbf{v_d} \times \mathbf{B} $$

जहाँ $q$ एक वाहक पर आवेश का मान है। अब $n q \mathbf{v_\mathrm{d}}$ धारा घनत्व $\mathbf{j}$ है और $\left|\left(n q \mathbf{v_\mathrm{d}}\right)\right| A$ धारा $I$ है (धारा और धारा घनत्व की चर्चा के लिए अध्याय 3 देखें)। इस प्रकार,

$$ \begin{align*} \mathbf{F} & =\left[\left(n q \mathbf{v_d}\right) l A\right] \times \mathbf{B}=[\mathbf{j} A l] \times \mathbf{B} \\ & =I l \times \mathbf{B} \tag{4.4} \end{align*} $$

जहाँ $l$ परिमाण $l$ (छड़ की लंबाई) का एक सदिश है, और दिशा धारा $I$ के समान है। ध्यान दें कि धारा $I$ एक सदिश नहीं है। समीकरण (4.4) की ओर ले जाने वाले अंतिम चरण में, हमने सदिश चिह्न को $\mathbf{j}$ से $\boldsymbol{l}$ में स्थानांतरित कर दिया है।

समीकरण (4.4) एक सीधी छड़ के लिए मान्य है। इस समीकरण में, B बाह्य चुंबकीय क्षेत्र है। यह धारावाही छड़ द्वारा उत्पन्न क्षेत्र नहीं है। यदि तार का एक स्वेच्छ आकार है तो हम इसे रैखिक पट्टियों $\mathrm{d} \boldsymbol{l}_{\mathrm{j}}$ के संग्रह के रूप में मानकर और योग करके इस पर लॉरेंट्ज़ बल की गणना कर सकते हैं:

$$ \mathbf{F}=\sum_{\mathrm{j}} \operatorname{Id} \boldsymbol{l}_{\mathrm{j}} \times \mathbf{B} $$

अधिकांश मामलों में इस योग को समाकलन में परिवर्तित किया जा सकता है।

उदाहरण 4.1 द्रव्यमान $200 \mathrm{~g}$ और लंबाई $1.5 \mathrm{~m}$ का एक सीधा तार $2 \mathrm{~A}$ की धारा वहन करता है। इसे एक समान क्षैतिज चुंबकीय क्षेत्र B द्वारा हवा में लटकाया गया है (चित्र 4.3)। चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण क्या है?

चित्र 4.3

हल समीकरण (4.4) से, हम पाते हैं कि एक ऊपर की ओर बल F है, जिसका परिमाण $I l B$ है। हवा में लटकाव के लिए, इसे गुरुत्वाकर्षण के कारण बल द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए:

$$ \begin{aligned} m g & =I l B \\ B & =\frac{m g}{I l} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} & =\frac{0.2 \times 9.81}{2 \times 1.5}=0.65 \mathrm{~T} \end{aligned} $$

ध्यान दें कि $\mathrm{m} / l$, तार के प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान, निर्दिष्ट करना पर्याप्त होता। पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र लगभग $4 \times 10^{-5} \mathrm{~T}$ है और हमने इसे नजरअंदाज कर दिया है।

उदाहरण 4.2 यदि चुंबकीय क्षेत्र धनात्मक $y$-अक्ष के समानांतर है और आवेशित कण धनात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश गतिमान है (चित्र 4.4), तो लॉरेंट्ज़ बल किस दिशा में होगा (a) एक इलेक्ट्रॉन (ऋणात्मक आवेश) के लिए, (b) एक प्रोटॉन (धनात्मक आवेश) के लिए।

चित्र 4.4

हल कण का वेग $\mathbf{v}$ $x$-अक्ष के अनुदिश है, जबकि $\mathbf{B}$, चुंबकीय क्षेत्र $y$-अक्ष के अनुदिश है, इसलिए $\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ $z$-अक्ष के अनुदिश है (स्क्रू नियम या दाएँ हाथ का अंगूठा नियम)। तो, (a) इलेक्ट्रॉन के लिए यह $-Z$ अक्ष के अनुदिश होगा। (b) धनात्मक आवेश (प्रोटॉन) के लिए बल $+z$ अक्ष के अनुदिश होगा।

4.3 चुंबकीय क्षेत्र में गति

अब हम एक चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेश की गति पर अधिक विस्तार से विचार करेंगे। हमने यांत्रिकी में सीखा है (कक्षा XI की पुस्तक, अध्याय 5 देखें) कि एक कण पर बल कार्य करता है यदि बल की गति की दिशा के अनुदिश (या विपरीत) एक घटक होता है। चुंबकीय क्षेत्र में आवेश की गति के मामले में, चुंबकीय बल कण के वेग के लंबवत होता है। इसलिए कोई कार्य नहीं होता है और वेग के परिमाण में कोई परिवर्तन नहीं होता है (हालाँकि संवेग की दिशा बदल सकती है)। [ध्यान दें कि यह विद्युत क्षेत्र के कारण बल, qE, के विपरीत है, जिसमें गति के समानांतर (या प्रतिसमानांतर) एक घटक हो सकता है और इस प्रकार संवेग के अतिरिक्त ऊर्जा का स्थानांतरण कर सकता है।]

चित्र 4.5 वृत्तीय गति

हम एक समान चुंबकीय क्षेत्र में एक आवेशित कण की गति पर विचार करेंगे। पहले के लंबवत होने के मामले पर विचार करें। लंबवत बल, , एक अभिकेंद्रीय बल के रूप में कार्य करता है और चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत एक वृत्तीय गति उत्पन्न करता है। कण एक वृत्त का वर्णन करेगा यदि और एक दूसरे के लंबवत हैं (चित्र 4.5)

यदि वेग का $\mathbf{B}$ के अनुदिश एक घटक है, तो यह घटक अपरिवर्तित रहता है क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र के अनुदिश गति चुंबकीय क्षेत्र से प्रभावित नहीं होगी। $\mathbf{B}$ के लंबवत तल में गति पहले की तरह एक वृत्तीय गति है, जिससे एक कुंडलिनी गति उत्पन्न होती है (चित्र 4.6)।

आपने पहले की कक्षाओं में सीखा है (कक्षा XI, अध्याय 3 देखें) कि यदि r कण के वृत्तीय पथ की त्रिज्या है, तो m v² / r का एक बल पथ पर केंद्र की ओर लंबवत कार्य करता है, और इसे अभिकेंद्रीय बल कहा जाता है। यदि वेग v चुंबकीय क्षेत्र B के लंबवत है, तो चुंबकीय बल v और B दोनों के लंबवत होता है और एक अभिकेंद्रीय बल की तरह कार्य करता है। इसका परिमाण q v B होता है। अभिकेंद्रीय बल के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर,

चित्र 4.6 कुंडलिनी गति

$$ \begin{align*} & m v^{2} / r=q v B, \text { which gives } \\ & r=m v / q B \tag{4.5} \end{align*} $$

आवेशित कण द्वारा वर्णित वृत्त की त्रिज्या के लिए। संवेग जितना बड़ा होगा, त्रिज्या उतनी ही बड़ी होगी और वर्णित वृत्त उतना ही बड़ा होगा। यदि $\omega$ कोणीय आवृत्ति है, तो $v$ $=\omega r$। इसलिए,

$$ \begin{equation*} \omega=2 \pi v=q B / m \tag{4.6 a} \end{equation*} $$

जो वेग या ऊर्जा से स्वतंत्र है। यहाँ $v$ घूर्णन की आवृत्ति है। $v$ का ऊर्जा से स्वतंत्र होना साइक्लोट्रॉन के डिजाइन में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग रखता है (अनुभाग 4.4.2 देखें)।

एक चक्कर में लगने वाला समय $T=2 \pi / \omega$ $\equiv 1 / v$ है। यदि वेग का एक घटक चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर है (जिसे $v_{| \mid}$ द्वारा निरूपित किया गया है), तो यह कण को क्षेत्र के अनुदिश गति कराएगा और कण का पथ एक कुंडलिनी होगा (चित्र 4.6)। एक घूर्णन में चुंबकीय क्षेत्र के अनुदिश तय की गई दूरी को पिच $p$ कहा जाता है। समीकरण [4.6 (a)] का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

$$ \begin{equation*} p=v _{|} T=2 \pi m v _{|} / q B \tag{ 4.6 b} \end{equation*} $$

गति के वृत्तीय घटक की त्रिज्या को कुंडलिनी की त्रिज्या कहा जाता है।

उदाहरण 4.3 द्रव्यमान $9 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$ और आवेश $1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$ के एक इलेक्ट्रॉन के पथ की त्रिज्या क्या है जो $3 \times 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ की चाल से $6 \times 10^{-4} \mathrm{~T}$ के लंबवत चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान है? इसकी आवृत्ति क्या है? $\mathrm{keV} .\left(1 \mathrm{eV}=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{~J}\right)$ में इसकी ऊर्जा की गणना करें।

हल समीकरण (4.5) का उपयोग करते हुए हम पाते हैं:

$$ \begin{aligned} & r=m v /(q B)=9 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} \times 3 \times 10^{7} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} /\left(1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C} \times 6 \times 10^{-4} \mathrm{~T}\right) \\ & =28 \times 10^{-2} \mathrm{~m}=28 \mathrm{~cm} \\ & v=v /(2 \pi r)=17 \times 10^{6} \mathrm{~s}^{-1}=17 \times 10^{6} \mathrm{~Hz}=17 \mathrm{MHz} \\ & E=(1 / 2) m v^{2}=(1 / 2) 9 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} \times 9 \times 10^{14} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}^{2}=40.5 \times 10^{-17} \mathrm{~J} \\ & \approx 4 \times 10^{-16} \mathrm{~J}=2.5 \mathrm{keV} \end{aligned} $$

4.4 धारा अवयव के कारण चुंबकीय क्षेत्र, बायो-सावर्ट नियम

हम जो सभी चुंबकीय क्षेत्र जानते हैं वे धाराओं (या गतिमान आवेशों) और कणों के आंतरिक चुंबकीय आघूर्ण के कारण होते हैं। यहाँ, हम धारा और उसके द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र के बीच संबंध का अध्ययन करेंगे। यह बायो-सावर्ट के नियम द्वारा दिया गया है। चित्र 4.7 धारा I वहन करने वाले एक परिमित चालक XY को दर्शाता है। विचार करें चालक का एक अत्यणु अवयव dl। चुंबकीय क्षेत्र dB इस अवयव के कारण बिंदु P पर निर्धारित किया जाना है जो इससे दूरी r पर है। मान लीजिए θ dl और विस्थापन सदिश r के बीच का कोण है। बायो-सावर्ट के नियम के अनुसार, चुंबकीय क्षेत्र dB का परिमाण धारा I, अवयव लंबाई |dl| के समानुपाती होता है, और दूरी r के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। इसकी दिशा* तल के लंबवत होती है जिसमें dl और r हैं। इस प्रकार, सदिश संकेतन में,

$$ \begin{align*} d \mathbf{B} & \propto \frac{I d \boldsymbol{l} \times \mathbf{r}}{r^{3}} \\ & =\frac{\mu _{0}}{4 \pi} \frac{I d \boldsymbol{l} \times \mathbf{r}}{r^{3}} \tag{4.7 a} \end{align*} $$