3.1 भूमिका

अध्याय 1 में, सभी आवेश चाहे वे मुक्त हों या बद्ध, सभी को विरामावस्था में माना गया था। गति में आवेश विद्युत धारा का निर्माण करते हैं। ऐसी धाराएँ प्राकृतिक रूप से कई स्थितियों में उत्पन्न होती हैं। बिजली का चमकना (Lightning) एक ऐसी ही घटना है जिसमें आवेश बादलों से पृथ्वी की ओर वायुमंडल के माध्यम से प्रवाहित होते हैं, कभी-कभी विनाशकारी परिणामों के साथ। बिजली में आवेशों का प्रवाह स्थिर नहीं होता, लेकिन हमारे दैनिक जीवन में हम कई उपकरण देखते हैं जहाँ आवेश एक स्थिर तरीके से प्रवाहित होते हैं, जैसे नदी में पानी का सहज प्रवाह। एक टॉर्च और सेल-चालित घड़ी ऐसे उपकरणों के उदाहरण हैं। वर्तमान अध्याय में, हम स्थिर विद्युत धाराओं से संबंधित कुछ मूलभूत नियमों का अध्ययन करेंगे।

3.2 विद्युत धारा

कल्पना कीजिए एक छोटा क्षेत्रफल जो आवेशों के प्रवाह की दिशा के अभिलंबवत रखा गया है। धनात्मक और ऋणात्मक दोनों प्रकार के आवेश इस क्षेत्रफल के आर-पार आगे और पीछे की ओर प्रवाहित हो सकते हैं। एक दिए गए समय अंतराल $t$ में, मान लीजिए $q_{+}$ धनात्मक आवेश की शुद्ध मात्रा (अर्थात, आगे की ओर प्रवाह घटाकर पीछे की ओर प्रवाह) है जो आगे की दिशा में क्षेत्रफल के आर-पार प्रवाहित होती है। इसी प्रकार, मान लीजिए $q_{-}$ ऋणात्मक आवेश की शुद्ध मात्रा है जो आगे की दिशा में क्षेत्रफल के आर-पार प्रवाहित होती है। तब, समय अंतराल $t$ में आगे की दिशा में क्षेत्रफल के आर-पार प्रवाहित होने वाली आवेश की शुद्ध मात्रा $q=q_{+}-q_{-}$ है। यह स्थिर धारा के लिए $t$ के समानुपाती है और भागफल

$$ \begin{equation*} I=\frac{q}{t} \tag{3.1} \end{equation*} $$

को आगे की दिशा में क्षेत्रफल के आर-पार धारा परिभाषित किया जाता है। (यदि यह एक ऋणात्मक संख्या निकलती है, तो इसका तात्पर्य पीछे की दिशा में धारा है।)

धाराएँ हमेशा स्थिर नहीं होती हैं और इसलिए अधिक सामान्यतः, हम धारा को निम्न प्रकार परिभाषित करते हैं। मान लीजिए $\Delta Q$ समय अंतराल $\Delta t [$ के दौरान एक चालक के अनुप्रस्थ काट के आर-पार प्रवाहित होने वाला शुद्ध आवेश है, अर्थात, समय $t$ और $(t+\Delta t)]$ के बीच। तब, समय $t$ पर चालक के अनुप्रस्थ काट के आर-पार धारा को अनुपात $\Delta Q$ से $\Delta t$ के सीमा मान के रूप में परिभाषित किया जाता है, जब $\Delta t$ शून्य की ओर अग्रसर होता है,

$$ \begin{equation*} I(t) \equiv \lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta Q}{\Delta t} \tag{3.2} \end{equation*} $$

SI मात्रकों में, धारा का मात्रक ऐम्पियर है। एक ऐम्पियर को धाराओं के चुंबकीय प्रभावों के माध्यम से परिभाषित किया जाता है जिसका हम अगले अध्याय में अध्ययन करेंगे। एक ऐम्पियर आम तौर पर घरेलू उपकरणों में धाराओं के परिमाण का क्रम होता है। एक औसत बिजली का चमकना हजारों ऐम्पियर के क्रम की धाराएँ वहन करता है और दूसरे चरम पर, हमारी नसों में धाराएँ माइक्रोऐम्पियर में होती हैं।

3.3 चालकों में विद्युत धाराएँ

एक विद्युत आवेश पर बल लगेगा यदि विद्युत क्षेत्र लगाया जाता है। यदि यह गति करने के लिए स्वतंत्र है, तो यह गति करेगा जिससे धारा में योगदान होगा। प्रकृति में, मुक्त आवेशित कण वास्तव में विद्यमान हैं जैसे वायुमंडल की ऊपरी परतों में जिसे आयनमंडल कहा जाता है। हालाँकि, परमाणुओं और अणुओं में, ऋणात्मक रूप से आवेशित इलेक्ट्रॉन और धनात्मक रूप से आवेशित नाभिक एक दूसरे से बद्ध होते हैं और इस प्रकार गति करने के लिए स्वतंत्र नहीं होते हैं। स्थूल पदार्थ कई अणुओं से बना होता है, उदाहरण के लिए, पानी के एक ग्राम में लगभग $10^{22}$ अणु होते हैं। ये अणु इतने सघन रूप से संकुलित होते हैं कि इलेक्ट्रॉन अब व्यक्तिगत नाभिकों से जुड़े नहीं रहते। कुछ पदार्थों में, इलेक्ट्रॉन अभी भी बद्ध रहेंगे, अर्थात, यहाँ तक कि यदि विद्युत क्षेत्र लगाया जाता है तो भी वे त्वरित नहीं होंगे। अन्य पदार्थों में, विशेष रूप से धातुओं में, कुछ इलेक्ट्रॉन व्यावहारिक रूप से स्थूल पदार्थ के भीतर गति करने के लिए स्वतंत्र होते हैं। ये पदार्थ, जिन्हें सामान्यतः चालक कहा जाता है, जब विद्युत क्षेत्र लगाया जाता है तो इनमें विद्युत धाराएँ विकसित होती हैं।

यदि हम ठोस चालकों पर विचार करते हैं, तो निश्चित रूप से परमाणु एक दूसरे से दृढ़ता से बद्ध होते हैं ताकि धारा ऋणात्मक रूप से आवेशित इलेक्ट्रॉनों द्वारा वहन की जाती है। हालाँकि, अन्य प्रकार के चालक भी हैं जैसे विद्युत-अपघट्य विलयन जहाँ धनात्मक और ऋणात्मक दोनों आवेश गति कर सकते हैं। हमारी चर्चाओं में, हम केवल ठोस चालकों पर ध्यान केंद्रित करेंगे ताकि धारा स्थिर धनात्मक आयनों की पृष्ठभूमि में ऋणात्मक रूप से आवेशित इलेक्ट्रॉनों द्वारा वहन की जाती है।

पहले उस स्थिति पर विचार करें जब कोई विद्युत क्षेत्र उपस्थित नहीं है। इलेक्ट्रॉन तापीय गति के कारण गति कर रहे होंगे जिसके दौरान वे स्थिर आयनों से टकराते हैं। एक आयन से टकराने वाला इलेक्ट्रॉन टक्कर से पहले के समान चाल के साथ उभरता है। हालाँकि, टक्कर के बाद इसके वेग की दिशा पूरी तरह से यादृच्छिक होती है। किसी दिए गए समय पर, इलेक्ट्रॉनों के वेगों के लिए कोई पसंदीदा दिशा नहीं होती। इस प्रकार औसतन, किसी भी दिशा में यात्रा करने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या विपरीत दिशा में यात्रा करने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या के बराबर होगी। इसलिए, कोई शुद्ध विद्युत धारा नहीं होगी।

आइए अब देखें कि यदि विद्युत क्षेत्र लगाया जाता है तो चालक के ऐसे टुकड़े का क्या होता है। अपने विचारों को केंद्रित करने के लिए, त्रिज्या $R$ के एक बेलन के आकार में चालक की कल्पना कीजिए (चित्र 3.1)। मान लीजिए कि हम अब समान त्रिज्या के एक परावैद्युत की दो पतली वृत्ताकार डिस्क लेते हैं और एक डिस्क पर वितरित धनात्मक आवेश $+Q$ रखते हैं और इसी तरह दूसरी डिस्क पर $-Q$ रखते हैं। हम दोनों डिस्कों को बेलन की दो समतल सतहों पर लगाते हैं। एक विद्युत क्षेत्र उत्पन्न होगा और यह धनात्मक आवेश से ऋणात्मक आवेश की ओर निर्देशित होगा। इलेक्ट्रॉन इस क्षेत्र के कारण $+Q$ की ओर त्वरित होंगे। इस प्रकार वे आवेशों को उदासीन करने के लिए गति करेंगे। इलेक्ट्रॉन, जब तक वे गति कर रहे हैं, एक विद्युत धारा का निर्माण करेंगे। इसलिए विचार की गई स्थिति में, बहुत कम समय के लिए धारा होगी और उसके बाद कोई धारा नहीं होगी।

चित्र 3.1 एक धात्विक बेलन के सिरों पर रखे गए आवेश $+Q$ और $-Q$। इलेक्ट्रॉन आवेशों को उदासीन करने के लिए उत्पन्न विद्युत क्षेत्र के कारण अपवाह करेंगे। इस प्रकार धारा कुछ देर बाद रुक जाएगी जब तक कि आवेश $+Q$ और $-Q$ को लगातार पुनःपूर्ति नहीं की जाती।

हम एक ऐसी व्यवस्था की भी कल्पना कर सकते हैं जहाँ बेलन के सिरों को ताज़ा आवेशों से आपूर्ति की जाती है ताकि चालक के अंदर गतिमान इलेक्ट्रॉनों द्वारा उदासीन किए गए किसी भी आवेश की भरपाई की जा सके। उस स्थिति में, चालक के पिंड में एक स्थिर विद्युत क्षेत्र होगा। इसके परिणामस्वरूप एक सतत धारा होगी न कि थोड़े समय के लिए धारा। वे व्यवस्थाएँ, जो एक स्थिर विद्युत क्षेत्र बनाए रखती हैं, सेल या बैटरियाँ हैं जिनका हम इस अध्याय में बाद में अध्ययन करेंगे। अगले भागों में, हम चालकों में एक स्थिर विद्युत क्षेत्र के परिणामस्वरूप उत्पन्न होने वाली स्थिर धारा का अध्ययन करेंगे।

3.4 ओम का नियम

चित्र 3.2 लंबाई $l$ और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल A वाले एक आयताकार स्लैब के लिए संबंध $\mathrm{R}=\rho \mathrm{l} / \mathrm{A}$ को दर्शाता है।

धाराओं के प्रवाह से संबंधित एक मूलभूत नियम जी.एस. ओम द्वारा 1828 में खोजा गया था, धाराओं के प्रवाह के लिए जिम्मेदार भौतिक व्यवस्था की खोज से बहुत पहले। एक चालक की कल्पना कीजिए जिससे होकर एक धारा $I$ प्रवाहित हो रही है और मान लीजिए $V$ चालक के सिरों के बीच विभवांतर है। तब ओम का नियम बताता है कि

$$ \begin{align*} V & \propto I \\ \text { or, } V & =R I \tag{3.3} \end{align*} $$

जहाँ आनुपातिकता का स्थिरांक $R$ को चालक का प्रतिरोध कहा जाता है। प्रतिरोध का SI मात्रक ओम है, और इसे प्रतीक $\Omega$ द्वारा निरूपित किया जाता है। प्रतिरोध $R$ न केवल चालक के पदार्थ पर बल्कि चालक के विमाओं पर भी निर्भर करता है। $R$ की चालक की विमाओं पर निर्भरता को आसानी से निम्न प्रकार निर्धारित किया जा सकता है।

जॉर्ज साइमन ओम (1787– 1854) जर्मन भौतिक विज्ञानी, म्यूनिख में प्रोफेसर। ओम ऊष्मा के चालन के एक सादृश्य द्वारा अपने नियम पर पहुँचे: विद्युत क्षेत्र तापमान प्रवणता के अनुरूप है, और विद्युत धारा ऊष्मा प्रवाह के अनुरूप है।

एक चालक पर विचार करें जो समीकरण (3.3) को संतुष्ट करता है और जो लंबाई $l$ और अनुप्रस्थ काटीय क्षेत्रफल $A$ के एक स्लैब के रूप में है [चित्र 3.2(a)]। कल्पना कीजिए कि दो ऐसे समान स्लैबों को साथ-साथ रखा गया है [चित्र 3.2(b)], ताकि संयोजन की लंबाई $2 l$ हो। संयोजन से प्रवाहित होने वाली धारा किसी भी स्लैब से प्रवाहित होने वाली धारा के समान ही है। यदि $V$ पहले स्लैब के सिरों के बीच विभवांतर है, तो $V$ दूसरे स्लैब के सिरों के बीच भी विभवांतर है क्योंकि दूसरा स्लैब पहले के समान है और दोनों से समान धारा I प्रवाहित होती है। संयोजन के सिरों के बीच विभवांतर स्पष्ट रूप से दो व्यक्तिगत स्लैबों के बीच विभवांतरों का योग है और इसलिए $2 V$ के बराबर है। संयोजन से होकर धारा $I$ है और संयोजन का प्रतिरोध $R_{\mathrm{C}}$ है [समीकरण (3.3) से],

$$ \begin{equation*} R_{C}=\frac{2 V}{I}=2 R \tag{3.4} \end{equation*} $$

चूँकि $V / I=R$, किसी भी स्लैब का प्रतिरोध है। इस प्रकार, एक चालक की लंबाई को दोगुना करने पर प्रतिरोध दोगुना हो जाता है। सामान्यतः, तब प्रतिरोध लंबाई के समानुपाती होता है,

$$ \begin{equation*} R \propto l \tag{3.5} \end{equation*} $$

अगला, स्लैब को लंबाई के अनुदिश काटकर दो भागों में विभाजित करने की कल्पना कीजिए ताकि स्लैब को लंबाई $l$ के दो समान स्लैबों के संयोजन के रूप में माना जा सके, लेकिन प्रत्येक का अनुप्रस्थ काटीय क्षेत्रफल $A / 2$ हो [चित्र 3.2(c)]।

स्लैब के आर-पार दिए गए वोल्टेज $V$ के लिए, यदि $I$ संपूर्ण स्लैब से होकर धारा है, तो स्पष्ट रूप से दो अर्ध-स्लैबों में से प्रत्येक से प्रवाहित होने वाली धारा $I / 2$ है। चूँकि अर्ध-स्लैबों के सिरों के बीच विभवांतर $V$ है, अर्थात, पूर्ण स्लैब के आर-पार के समान, प्रत्येक अर्ध-स्लैब का प्रतिरोध $R_{1}$ है

$$ \begin{equation*} R_{1}=\frac{V}{(I / 2)}=2 \frac{V}{I}=2 R \tag{3.6} \end{equation*} $$

इस प्रकार, एक चालक के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल को आधा करने पर प्रतिरोध दोगुना हो जाता है। सामान्यतः, तब प्रतिरोध $R$ अनुप्रस्थ काटीय क्षेत्रफल के व्युत्क्रमानुपाती होता है,

$$ \begin{equation*} R \propto \frac{1}{A} \tag{3.7} \end{equation*} $$

समीकरणों (3.5) और (3.7) को संयोजित करने पर, हमारे पास है

$$ \begin{equation*} R \propto \frac{l}{A} \tag{3.8} \end{equation*} $$

और इसलिए किसी दिए गए चालक के लिए

$$ \begin{equation*} R=\rho \frac{l}{A} \tag{3.9} \end{equation*} $$

जहाँ आनुपातिकता का स्थिरांक $\rho$ चालक के पदार्थ पर निर्भर करता है लेकिन इसकी विमाओं पर नहीं। $\rho$ को प्रतिरोधकता कहा जाता है। अंतिम समीकरण का उपयोग करते हुए, ओम का नियम पढ़ता है

$$ \begin{equation*} V=I \times R=\frac{I \rho}{A} \tag{3.10} \end{equation*} $$

प्रति इकाई क्षेत्रफल धारा (धारा के अभिलंबवत लिया गया), $I / A$, को धारा घनत्व कहा जाता है और इसे $j$ द्वारा निरूपित किया जाता है। धारा घनत्व के SI मात्रक $\mathrm{A} / \mathrm{m}^{2}$ हैं। इसके अलावा, यदि $E$ सिरों में एकसमान विद्युत क्षेत्र का परिमाण है तो $E l$ है। इनका उपयोग करते हुए, अंतिम समीकरण पढ़ता है

$$ \begin{align*} & E l=j \rho l \\ \text { or, } & E=j \rho \tag{3.11} \end{align*} $$

परिमाणों $E$ और $j$ के लिए उपरोक्त संबंध को वास्तव में एक सदिश रूप में ढाला जा सकता है। धारा घनत्व, (जिसे हमने धारा के अभिलंबवत इकाई क्षेत्रफल से होकर धारा के रूप में परिभाषित किया है) भी $\mathbf{E}$ के अनुदिश निर्देशित होता है, और यह भी एक सदिश $\mathbf{j}(\equiv j \mathbf{E} / \mathrm{E})$ है। इस प्रकार, अंतिम समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है,

$$ \begin{align*} \mathbf{E} & =\mathbf{j} \rho \tag{3.12}\\ \text { or, } & \mathbf{j}=\sigma \mathbf{E} \tag{3.13} \end{align*} $$

जहाँ $\sigma \equiv 1 / \rho$ को चालकता कहा जाता है। ओम का नियम अक्सर एक समतुल्य रूप में कहा जाता है, समीकरण (3.3) के अतिरिक्त समीकरण (3.13)। अगले भाग में, हम इलेक्ट्रॉनों के अपवाह की विशेषताओं से उत्पन्न होने वाले ओम के नियम की उत्पत्ति को समझने का प्रयास करेंगे।

3.5 इलेक्ट्रॉनों का अपवाह और प्रतिरोधकता की उत्पत्ति

जैसा कि पहले कहा गया है, एक इलेक्ट्रॉन भारी स्थिर आयनों से टकराव का सामना करेगा, लेकिन टक्कर के बाद, यह समान चाल के साथ लेकिन यादृच्छिक दिशाओं में उभरेगा। यदि हम सभी इलेक्ट्रॉनों पर विचार करते हैं, तो उनका औसत वेग शून्य होगा क्योंकि उनकी दिशाएँ यादृच्छिक होती हैं। इस प्रकार, यदि $N$ इलेक्ट्रॉन हैं और $i^{\text {th }}$वें इलेक्ट्रॉन $(i=1,2,3, \ldots N)$ का किसी दिए गए समय पर वेग $\mathbf{v}_{i}$ है, तो

$$ \begin{equation*} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \mathbf{v}_{i}=0 \tag{3.14} \end{equation*} $$

अब उस स्थिति पर विचार करें जब एक विद्युत क्षेत्र उपस्थित हो। इलेक्ट्रॉन इस क्षेत्र के कारण त्वरित होंगे

$$ \begin{equation*} \mathbf{a}=\frac{-e \mathbf{E}}{m} \tag{3.15} \end{equation*} $$

जहाँ $-e$ आवेश है और $\boldsymbol{m}$ एक इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है। फिर से $\boldsymbol{i^\text {th }}$वें इलेक्ट्रॉन पर किसी दिए गए समय $\boldsymbol{t}$ पर विचार करें। इस इलेक्ट्रॉन की अंतिम टक्कर $t$ से कुछ समय पहले हुई होगी, और मान लीजिए $t_{i}$ इसकी अंतिम टक्कर के बाद बीता हुआ समय है। यदि $\mathbf{v_i}$ इसकी अंतिम टक्कर के तुरंत बाद इसका वेग था, तो समय $t$ पर इसका वेग $\mathbf{V}_{i}$ है

$$ \begin{equation*} \mathbf{v} _{i}=\mathbf{v} _{i}+\left(-\frac{e \mathbf{E}}{m}\right) t _{i} \tag{3.16} \end{equation*} $$

चूँकि इसकी अंतिम टक्कर से शुरू होकर इसे समय अंतराल $t_{i}$ के लिए समीकरण (3.15) द्वारा दिए गए त्वरण के साथ त्वरित किया गया था (चित्र 3.3)। समय $t$ पर इलेक्ट्रॉनों का औसत वेग सभी $\mathbf{v_i}$ का औसत है। $\mathbf{v_i}$ का औसत शून्य है [समीकरण (3.14)] क्योंकि किसी भी टक्कर के तुरंत बाद, एक इलेक्ट्रॉन के वेग की दिशा पूरी तरह से यादृच्छिक होती है। इलेक्ट्रॉनों की टक्करें नियमित अंतराल पर नहीं बल्कि यादृच्छिक समय पर होती हैं। आइए हम $\tau$ द्वारा क्रमिक टक्करों के बीच के औसत समय को निरूपित करें। तब किसी दिए गए समय पर, कुछ इलेक्ट्रॉनों ने $\tau$ से अधिक समय बिताया होगा और कुछ ने $\tau$ से कम। दूसरे शब्दों में, समीकरण (3.16) में समय $\boldsymbol{t_i}$ कुछ के लिए $\tau$ से कम होगा और कुछ के लिए $\tau$ से अधिक होगा जैसे ही हम $\boldsymbol{i}=1,2 \ldots . . N$ के मानों से गुजरते हैं। तब $t_{i}$ का औसत मान $\tau$ (विश्राम समय के रूप में जाना जाता है) है। इस प्रकार, किसी दिए गए समय $\boldsymbol{t}$ पर $N$-इलेक्ट्रॉनों के लिए समीकरण (3.16) का औसत निकालने पर हमें औसत वेग $\mathbf{v_{\boldsymbol{d}}}$ के लिए प्राप्त होता है

चित्र 3.3 एक इलेक्ट्रॉन की बिंदु $A$ से दूसरे बिंदु B तक बार-बार टक्करों के माध्यम से और टक्करों के बीच सीधी रेखा यात्रा (पूर्ण रेखाएँ) करने की एक योजनाबद्ध तस्वीर। यदि विद्युत क्षेत्र लगाया जाता है जैसा कि दिखाया गया है, तो इलेक्ट्रॉन बिंदु $\mathrm{B}^{\prime}$ (बिंदु रेखाएँ) पर समाप्त होता है। विद्युत क्षेत्र के विपरीत दिशा में एक मामूली अपवाह दिखाई देता है।

$$ \begin{align*} & \mathbf{v_d} \equiv\left(\mathbf{V_i}\right)_{\text {average }}=\left(\mathbf{v_i}\right)-\frac{e \mathbf{E}}{m}\left(t_i\right)\\ & =0-\frac{e \mathbf{E}}{m} \tau =-\frac{e \mathbf{E}}{m} \tau \tag{3.17} \end{align*} $$

चित्र 3.4 एक धात्विक चालक में धारा। एक धातु में धारा घनत्व का परिमाण इकाई क्षेत्रफल और लंबाई $v_{d}$ के एक बेलन में निहित आवेश का परिमाण है।

यह अंतिम परिणाम आश्चर्यजनक है। यह हमें बताता है कि इलेक्ट्रॉन एक औसत वेग के साथ गति करते हैं जो समय से स्वतंत्र है, हालाँकि इलेक्ट्रॉन त्वरित होते हैं। यह अपवाह की घटना है और समीकरण (3.17) में वेग $\mathbf{v _\mathbf{d}}$ को $\mathbf{d}$ अपवाह वेग कहा जाता है।

अपवाह के कारण, $\mathbf{E}$ के लंबवत किसी भी क्षेत्रफल के आर-पार आवेशों का शुद्ध परिवहन होगा। एक समतलीय क्षेत्रफल $A$ पर विचार करें, जो चालक के अंदर स्थित है ताकि क्षेत्रफल का अभिलंब $\mathbf{E}$ के समांतर हो (चित्र 3.4)। तब अपवाह के कारण, एक अत्यल्प समय मात्रा $\Delta \mathbf{t}$ में, दूरी तक $\left|\mathbf{v_\mathbf{d}}\right| \Delta \mathbf{t}$ तक क्षेत्रफल के बाईं ओर के सभी इलेक्ट्रॉन क्षेत्रफल को पार कर चुके होंगे। यदि $\mathbf{n}$ धातु में प्रति इकाई आयतन मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या है, तो ऐसे $\mathbf{n} \Delta \mathbf{t}\left|\mathbf{v_\mathbf{d}}\right| \mathbf{A}$ इलेक्ट्रॉन हैं। चूँकि प्रत्येक इलेक्ट्रॉन एक आवेश $-\mathbf{e}$ वहन करता है, समय $\Delta t$ में दाईं ओर इस क्षेत्रफल $\mathbf{A}$ के आर-पार परिवहन किया गया कुल आवेश $-n e A\left|\mathrm{v_d}\right| \Delta t$ है। $\mathbf{E}$ बाईं ओर निर्देशित है और इसलिए $\mathbf{E}$ के अनुदिश क्षेत्रफल के आर-पार परिवहन किया गया कुल आवेश इसका ऋणात्मक है। परिभाषा के अनुसार [समीकरण (3.2)] समय $\Delta t$ में क्षेत्रफल $A$ को पार करने वाला आवेश की मात्रा $I \Delta t$ है, जहाँ $I$ धारा का परिमाण है। इसलिए,

$$ \begin{equation*} I \Delta t=+n \text { e } A\left|\mathrm{v}_{d}\right| \Delta t \tag{3.18} \end{equation*} $$

समीकरण (3.17) से $\left|\mathbf{v}_{d}\right|$ का मान प्रतिस्थापित करने पर

$$ \begin{equation*} I \Delta t=\frac{e^{2} A}{m} \ln \Delta t|\mathrm{E}| \tag{3.19} \end{equation*} $$

परिभाषा के अनुसार $I$ धारा घनत्व के परिमाण $|j|$ से संबंधित है

$$ \begin{equation*} I=|\mathrm{j}| A \tag{3.20} \end{equation*} $$

इसलिए, समीकरणों (3.19) और (3.20) से,

$$ \begin{equation*} |\mathrm{j}|=\frac{n e^{2}}{m} \tau|\mathrm{E}| \tag{3.21} \end{equation*} $$

सदिश $\mathbf{j}$ $\mathbf{E}$ के समांतर है और इसलिए हम समीकरण (3.21) को सदिश रूप में लिख सकते हैं

$$ \begin{equation*} \mathbf{j}=\frac{n e^{2}}{m} \tau \mathbf{E} \tag{3.22} \end{equation*} $$

समीकरण (3.13) के साथ तुलना से पता चलता है कि समीकरण (3.22) बिल्कुल ओम का नियम है, यदि हम चालकता $\sigma$ को पहचानते हैं

$$ \begin{equation*} \sigma=\frac{n e^{2}}{m} \tau \tag{3.23} \end{equation*} $$

इस प्रकार हम देखते हैं कि विद्युत चालन की एक बहुत ही सरल तस्वीर ओम के नियम को पुनः प्रस्तुत करती है। हमने, निश्चित रूप से, यह मान लिया है कि $\tau$ और $n$ स्थिरांक हैं, $E$ से स्वतंत्र। हम अगले भाग में, ओम के नियम की सीमाओं पर चर्चा करेंगे।

उदाहरण 3.1 (a) अनुप्रस्थ काटीय क्षेत्रफल $1.0 \times 10^{-7} \mathrm{~m}^{2}$ के एक ताँबे के तार में 1.5 A की धारा वहन करने वाले चालन इलेक्ट्रॉनों के औसत अपवाह चाल का आकलन कीजिए। मान लीजिए कि प्रत्येक ताँबे का परमाणु लगभग एक चालन इलेक्ट्रॉन योगदान देता है। ताँबे का घनत्व $9.0 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$ है, और इसका परमाणु द्रव्यमान $63.5 \mathrm{u}$ है। (b) ऊपर प्राप्त अपवाह चाल की तुलना, (i) सामान्य तापमान पर ताँबे के परमाणुओं की तापीय चाल से, (ii) चालक के अनुदिश