2.1 भूमिका

अध्याय 6 और 8 (कक्षा XI) में, स्थितिज ऊर्जा की अवधारणा को प्रस्तुत किया गया था। जब कोई बाह्य बल किसी पिंड को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक स्प्रिंग बल या गुरुत्वाकर्षण बल जैसे बल के विरुद्ध ले जाने में कार्य करता है, तो वह कार्य पिंड की स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है। जब बाह्य बल हटा दिया जाता है, तो पिंड गतिज ऊर्जा प्राप्त करते हुए और समान मात्रा में स्थितिज ऊर्जा खोते हुए गति करता है। इस प्रकार गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं का योग संरक्षित रहता है। इस प्रकार के बलों को संरक्षी बल कहा जाता है। स्प्रिंग बल और गुरुत्वाकर्षण बल संरक्षी बलों के उदाहरण हैं।

दो (स्थिर) आवेशों के बीच का कूलॉम बल भी एक संरक्षी बल है। यह आश्चर्यजनक नहीं है, क्योंकि दोनों की दूरी पर व्युत्क्रम-वर्ग निर्भरता होती है और मुख्य रूप से आनुपातिकता स्थिरांकों में भिन्नता होती है - गुरुत्वाकर्षण नियम में द्रव्यमानों को कूलॉम के नियम में आवेशों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस प्रकार, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में किसी द्रव्यमान की स्थितिज ऊर्जा की तरह, हम एक स्थिरवैद्युत क्षेत्र में किसी आवेश की स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा को परिभाषित कर सकते हैं।

किसी आवेश विन्यास के कारण एक स्थिरवैद्युत क्षेत्र $\mathbf{E}$ पर विचार करें। सरलता के लिए, पहले मूल बिंदु पर रखे गए आवेश $Q$ के कारण क्षेत्र $\mathbf{E}$ पर विचार करें। अब, कल्पना करें कि हम एक परीक्षण आवेश $q$ को बिंदु $\mathrm{R}$ से बिंदु $\mathrm{P}$ तक आवेश $Q$ के कारण उस पर लगने वाले प्रतिकर्षण बल के विरुद्ध लाते हैं। चित्र 2.1 के संदर्भ में, यह तब होगा यदि $Q$ और $q$ दोनों धनात्मक हों या दोनों ऋणात्मक हों। निश्चितता के लिए, हम $Q, q>0$ लेते हैं।

चित्र 2.1 एक परीक्षण आवेश $q(>0)$ को बिंदु $\mathrm{R}$ से बिंदु $\mathrm{P}$ तक मूल बिंदु पर रखे गए आवेश $Q(>0)$ द्वारा उस पर लगने वाले प्रतिकर्षण बल के विरुद्ध ले जाया जाता है।

यहां दो टिप्पणियां की जा सकती हैं। पहली, हम मानते हैं कि परीक्षण आवेश $q$ इतना छोटा है कि यह मूल विन्यास, अर्थात् मूल बिंदु पर आवेश $Q$ को विचलित नहीं करता (या फिर, हम $Q$ को किसी अनिर्दिष्ट बल द्वारा मूल बिंदु पर स्थिर रखते हैं)। दूसरी, आवेश $q$ को $\mathrm{R}$ से $\mathrm{P}$ तक लाने में, हम एक बाह्य बल $\mathbf{F_\text {ext }}$ लगाते हैं जो प्रतिकर्षण स्थिरवैद्युत बल $\mathbf{F_\mathrm{E}}$ (अर्थात, $\mathbf{F_\mathrm{ext}}=-\mathbf{F_\mathrm{E}}$) को संतुलित करने के लिए पर्याप्त होता है। इसका अर्थ है कि जब आवेश $q$ को $\mathrm{R}$ से $\mathrm{P}$ तक लाया जाता है, तो उस पर कोई नेट बल या त्वरण नहीं होता, अर्थात, इसे अत्यंत धीमी नियत चाल से लाया जाता है। इस स्थिति में, बाह्य बल द्वारा किया गया कार्य स्थिरवैद्युत बल द्वारा किए गए कार्य का ऋणात्मक होता है, और पूर्ण रूप से आवेश $q$ की स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है। यदि $P$ पर पहुंचने पर बाह्य बल हटा दिया जाता है, तो स्थिरवैद्युत बल आवेश को $Q$ से दूर ले जाएगा - संचित ऊर्जा (स्थितिज ऊर्जा) $\mathrm{P}$ पर आवेश $q$ को गतिज ऊर्जा प्रदान करने के लिए उपयोग की जाती है इस प्रकार कि गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं का योग संरक्षित रहे।

इस प्रकार, एक आवेश $q$ को $\mathrm{R}$ से $\mathrm{P}$ तक ले जाने में बाह्य बलों द्वारा किया गया कार्य है

$$ \begin{align*} \mathrm{W_\mathrm{RP}} & =\int_{\mathrm{R^{\mathrm{P}}}} \mathbf{F_\text {ext }} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} \\ & =-\int_{\mathrm{R}}^{\mathrm{P}} \mathbf{F\text {ext }} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} \tag{2.1} \end{align*} $$

यह कार्य स्थिरवैद्युत प्रतिकर्षण बल के विरुद्ध किया जाता है और स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है।

विद्युत क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर, आवेश $q$ वाला एक कण एक निश्चित स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा रखता है, यह कार्य उसकी स्थितिज ऊर्जा को बिंदुओं $\mathrm{R}$ और $\mathrm{P}$ के बीच स्थितिज ऊर्जा अंतर के बराबर मात्रा में बढ़ा देता है।

इस प्रकार, स्थितिज ऊर्जा अंतर

$$ \begin{equation*} \Delta U=U_{P}-U_{R}=W_{R P} \tag{2.2} \end{equation*} $$

(यहां ध्यान दें कि यह विस्थापन स्थिरवैद्युत बल के विपरीत दिशा में है और इसलिए विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक है, अर्थात, $-W_{R P}$।)

इसलिए, हम दो बिंदुओं के बीच विद्युत स्थितिज ऊर्जा अंतर को किसी भी मनमाने आवेश विन्यास के विद्युत क्षेत्र के लिए एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक आवेश $q$ को (त्वरित किए बिना) ले जाने में एक बाह्य बल द्वारा आवश्यक कार्य के रूप में परिभाषित कर सकते हैं।

इस स्तर पर दो महत्वपूर्ण टिप्पणियां की जा सकती हैं:

(i) समीकरण (2.2) का दायां पक्ष केवल आवेश के प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है। इसका अर्थ है कि एक आवेश को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने में एक स्थिरवैद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं पर निर्भर करता है और एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक जाने में अपनाए गए पथ से स्वतंत्र होता है। यह एक संरक्षी बल की मौलिक विशेषता है। स्थितिज ऊर्जा की अवधारणा अर्थहीन होगी यदि कार्य पथ पर निर्भर करता। एक स्थिरवैद्युत क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य की पथ-स्वतंत्रता को कूलॉम के नियम का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है। हम यहां इस प्रमाण को छोड़ देते हैं।

काउंट एलेसेंड्रो वोल्टा

(1745 – 1827) इतालवी भौतिक विज्ञानी, पाविया के प्रोफेसर। वोल्टा ने स्थापित किया कि लुइगी गैल्वानी (1737–1798) द्वारा मेंढक की मांसपेशी ऊतक को असमान धातुओं के संपर्क में रखकर किए गए प्रयोगों में देखी गई जंतु विद्युत, जंतु ऊतकों के किसी असाधारण गुण के कारण नहीं थी बल्कि तब भी उत्पन्न होती थी जब भी कोई गीला पिंड असमान धातुओं के बीच रखा जाता था। इसने उन्हें पहली वोल्टीय पाइल, या बैटरी, विकसित करने के लिए प्रेरित किया, जिसमें नम कार्डबोर्ड (विद्युत अपघट्य) की बड़ी स्टैक की डिस्क धातु (इलेक्ट्रोड) की डिस्क के बीच रखी जाती थी।

(ii) समीकरण (2.2) भौतिक रूप से सार्थक राशि कार्य के पदों में स्थितिज ऊर्जा अंतर को परिभाषित करता है। स्पष्ट है, इस प्रकार परिभाषित स्थितिज ऊर्जा एक योज्य स्थिरांक तक अनिर्धारित होती है। इसका अर्थ यह है कि स्थितिज ऊर्जा का वास्तविक मान भौतिक रूप से महत्वपूर्ण नहीं है; केवल स्थितिज ऊर्जा का अंतर ही महत्वपूर्ण है। हम हमेशा प्रत्येक बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा में एक मनमाना स्थिरांक $\alpha$ जोड़ सकते हैं, क्योंकि इससे स्थितिज ऊर्जा अंतर नहीं बदलेगा:

$$ \left(U_{P}+\alpha\right)-\left(U_{R}+\alpha\right)=U_{P}-U_{R} $$

दूसरे शब्दों में, उस बिंदु को चुनने में स्वतंत्रता है जहां स्थितिज ऊर्जा शून्य है। एक सुविधाजनक विकल्प अनंत पर स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा को शून्य रखना है। इस विकल्प के साथ, यदि हम बिंदु $\mathrm{R}$ को अनंत पर लेते हैं, तो हमें समीकरण (2.2) से प्राप्त होता है

$$ \begin{equation*} W_{\infty P}=U_{P}-U_{\infty}=U_{P} \tag{2.3} \end{equation*} $$

चूंकि बिंदु $\mathrm{P}$ मनमाना है, समीकरण (2.3) हमें किसी भी बिंदु पर आवेश $q$ की स्थितिज ऊर्जा की परिभाषा प्रदान करता है। किसी बिंदु पर आवेश $q$ की स्थितिज ऊर्जा (किसी भी आवेश विन्यास के कारण क्षेत्र की उपस्थिति में) आवेश $q$ को अनंत से उस बिंदु तक लाने में बाह्य बल (विद्युत बल के बराबर और विपरीत) द्वारा किया गया कार्य है।

2.2 स्थिरवैद्युत विभव

किसी भी सामान्य स्थिर आवेश विन्यास पर विचार करें। हम एक परीक्षण आवेश $q$ की स्थितिज ऊर्जा को आवेश $q$ पर किए गए कार्य के पदों में परिभाषित करते हैं। यह कार्य स्पष्ट रूप से $q$ के समानुपाती है, क्योंकि किसी भी बिंदु पर बल $q \mathbf{E}$ है, जहां $\mathbf{E}$ दिए गए आवेश विन्यास के कारण उस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र है। इसलिए, कार्य को आवेश $q$ की मात्रा से विभाजित करना सुविधाजनक है, ताकि परिणामी राशि $q$ से स्वतंत्र हो। दूसरे शब्दों में, प्रति इकाई परीक्षण आवेश पर किया गया कार्य आवेश विन्यास से संबद्ध विद्युत क्षेत्र की विशेषता है। यह दिए गए आवेश विन्यास के कारण स्थिरवैद्युत विभव $V$ की अवधारणा की ओर ले जाता है। समीकरण (2.1) से, हम प्राप्त करते हैं:

बिंदु $\mathrm{R}$ से $\mathrm{P}$ तक एक इकाई धनात्मक आवेश लाने में बाह्य बल द्वारा किया गया कार्य

$$ \begin{equation*} =V_{P}-V_{R} \quad=\frac{U_{P}-U_{R}}{q} \tag{2.4} \end{equation*} $$

जहां $V_{P}$ और $V_{R}$ क्रमशः $\mathrm{P}$ और $\mathrm{R}$ पर स्थिरवैद्युत विभव हैं। ध्यान दें, पहले की तरह, कि भौतिक रूप से सार्थक विभव का वास्तविक मान नहीं बल्कि विभवांतर है। यदि, पहले की तरह, हम अनंत पर विभव को शून्य चुनते हैं, तो समीकरण (2.4) का तात्पर्य है:

अनंत से एक बिंदु $=$ तक एक इकाई धनात्मक आवेश लाने में बाह्य बल द्वारा किया गया कार्य उस बिंदु पर स्थिरवैद्युत विभव $(V)$ है।

चित्र 2.2 किसी दिए गए आवेश विन्यास के कारण स्थिरवैद्युत क्षेत्र द्वारा एक परीक्षण आवेश $q$ पर किया गया कार्य पथ से स्वतंत्र है, और केवल उसकी प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है।

दूसरे शब्दों में, स्थिरवैद्युत क्षेत्र वाले क्षेत्र में किसी बिंदु पर स्थिरवैद्युत विभव $(V)$ अनंत से उस बिंदु तक एक इकाई धनात्मक आवेश (त्वरण के बिना) लाने में किया गया कार्य है।

स्थितिज ऊर्जा के संबंध में पहले की गई योग्य टिप्पणियां विभव की परिभाषा पर भी लागू होती हैं। प्रति इकाई परीक्षण आवेश पर किए गए कार्य को प्राप्त करने के लिए, हमें एक अत्यल्प परीक्षण आवेश $\delta q$ लेना चाहिए, इसे अनंत से उस बिंदु तक लाने में किया गया कार्य $\delta W$ प्राप्त करना चाहिए और अनुपात $\delta W / \delta q$ निर्धारित करना चाहिए। साथ ही, पथ के प्रत्येक बिंदु पर बाह्य बल उस बिंदु पर परीक्षण आवेश पर स्थिरवैद्युत बल के बराबर और विपरीत होना चाहिए।

2.3 बिंदु आवेश के कारण विभव

मूल बिंदु पर एक बिंदु आवेश $Q$ पर विचार करें (चित्र 2.3)। निश्चितता के लिए, $Q$ को धनात्मक लें। हम किसी भी बिंदु $\mathrm{P}$ पर विभव निर्धारित करना चाहते हैं जिसका स्थिति सदिश मूल बिंदु से $\mathbf{r}$ है। उसके लिए हमें अनंत से बिंदु P तक एक इकाई धनात्मक परीक्षण आवेश लाने में किए गए कार्य की गणना करनी होगी। $Q>0$ के लिए, परीक्षण आवेश पर प्रतिकर्षण बल के विरुद्ध किया गया कार्य धनात्मक है। चूंकि किया गया कार्य पथ से स्वतंत्र है, हम एक सुविधाजनक पथ चुनते हैं - अनंत से बिंदु $P$ तक की रेडियल दिशा के अनुदिश।

चित्र 2.3 अनंत से बिंदु $\mathrm{P}$ तक एक इकाई धनात्मक परीक्षण आवेश लाने में, आवेश $Q(Q>0)$ के प्रतिकर्षण बल के विरुद्ध किया गया कार्य, आवेश $Q$ के कारण $\mathrm{P}$ पर विभव है।

पथ पर किसी मध्यवर्ती बिंदु $\mathrm{P}^{\prime}$ पर, एक इकाई धनात्मक आवेश पर स्थिरवैद्युत बल है $$ \begin{equation*} \frac{Q \times 1}{4 \pi \varepsilon _{o} r^{\prime 2}} \hat{\mathbf{r}}^{\prime} \tag{2.5} \end{equation*} $$

जहां $\hat{\mathbf{r^\prime}}$, $\mathrm{OP^\prime}$ के अनुदिश इकाई सदिश है। $\mathbf{r^\prime}$ से $\mathbf{r^\prime}+\Delta \mathbf{r^\prime}$ तक इस बल के विरुद्ध किया गया कार्य है

$$ \begin{equation*} \Delta W=-\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{\prime 2}} \Delta r^{\prime} \tag{2.6} \end{equation*} $$

ऋणात्मक चिह्न इसलिए प्रकट होता है क्योंकि $\Delta r^{\prime}<0, \Delta W$ के लिए धनात्मक है। बाह्य बल द्वारा किया गया कुल कार्य (W) समीकरण (2.6) को $r^{\prime}=\infty$ से $r^{\prime}=r$ तक समाकलित करके प्राप्त किया जाता है,

$$ \begin{equation*} W=-\int _{\infty}^{r} \frac{Q}{4 \pi \varepsilon _{o} r^{\prime 2}} d r^{\prime}=\left.\frac{Q}{4 \pi \varepsilon _{o} r^{\prime}}\right| _{\infty} ^{r}=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon _{o} r} \tag{2.7} \end{equation*} $$

यह, परिभाषा के अनुसार, आवेश $Q$ के कारण $\mathrm{P}$ पर विभव है

$$ \begin{equation*} V(r)=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon _{0} r} \tag{2.8} \end{equation*} $$

समीकरण (2.8) आवेश $Q$ के किसी भी चिह्न के लिए सत्य है, हालांकि हमने इसके व्युत्पत्ति में $Q>0$ माना था। $Q<0, V<0$ के लिए, अर्थात, अनंत से उस बिंदु तक इकाई धनात्मक परीक्षण आवेश लाने में (बाह्य बल द्वारा) किया गया कार्य ऋणात्मक है। यह यह कहने के तुल्य है कि अनंत से बिंदु $\mathrm{P}$ तक इकाई धनात्मक आवेश लाने में स्थिरवैद्युत बल द्वारा किया गया कार्य धनात्मक है। [यह ऐसा ही होना चाहिए, क्योंकि $Q<0$ के लिए, एक इकाई धनात्मक परीक्षण आवेश पर बल आकर्षी होता है, इसलिए स्थिरवैद्युत बल और विस्थापन (अनंत से P तक) एक ही दिशा में होते हैं।] अंत में, हम ध्यान देते हैं कि समीकरण (2.8) इस विकल्प के साथ संगत है कि अनंत पर विभव शून्य हो।

चित्र 2.4 एक बिंदु आवेश $Q$ के लिए विभव $V$ का $r$ के साथ परिवर्तन [$\left(Q / 4 \pi \varepsilon_{0}\right) \mathrm{m}^{-1}$ के इकाइयों में] (नीला वक्र) और क्षेत्र का $r$ के साथ परिवर्तन [$\left(Q / 4 \pi \varepsilon_{0}\right) \mathrm{m}^{-2}$ के इकाइयों में] (काला वक्र)।

चित्र (2.4) दर्शाता है कि स्थिरवैद्युत विभव $(\propto 1 / r)$ और स्थिरवैद्युत क्षेत्र $\left(\propto 1 / r^{2}\right).$ $r$ के साथ कैसे परिवर्तित होता है।

उदाहरण 2.1

(a) $\mathrm{P}$ दूर स्थित $4 \times 10^{-7} \mathrm{C}$ आवेश के कारण एक बिंदु $9 \mathrm{~cm}$ पर विभव की गणना करें।

(b) इस प्रकार अनंत से बिंदु P तक $2 \times 10^{-9} \mathrm{C}$ आवेश लाने में किए गए कार्य को प्राप्त करें। क्या उत्तर उस पथ पर निर्भर करता है जिसके अनुदिश आवेश लाया जाता है?

हल

(a) $V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{r}=9 \times 10^{9} \mathrm{Nm}^{2} \mathrm{C}^{-2} \times \frac{4 \times 10^{-7} \mathrm{C}}{0.09 \mathrm{~m}}$

$$ =4 \times 10^{4} \mathrm{~V} $$

(b) $W=q V=2 \times 10^{-9} \mathrm{C} \times 4 \times 10^{4} \mathrm{~V}$

$$ =8 \times 10^{-5} \mathrm{~J} $$

नहीं, किया गया कार्य पथ से स्वतंत्र होगा। कोई भी मनमाना अत्यल्प पथ दो लंबवत विस्थापनों में विभाजित किया जा सकता है: एक $\mathbf{r}$ के अनुदिश और दूसरा $\mathbf{r}$ के लंबवत। बाद वाले के संगत किया गया कार्य शून्य होगा।

2.4 विद्युत द्विध्रुव के कारण विभव

जैसा कि हमने पिछले अध्याय में सीखा, एक विद्युत द्विध्रुव में दो आवेश $q$ और $-q$ होते हैं जो एक (छोटी) दूरी $2 a$ से पृथक होते हैं। इसका कुल आवेश शून्य है। इसे एक द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\mathbf{p}$ द्वारा अभिलक्षित किया जाता है जिसका परिमाण $q \times 2 a$ है और जो $-q$ से $q$ की दिशा में इंगित करता है (चित्र 2.5)। हमने यह भी देखा कि स्थिति सदिश $\mathbf{r}$ वाले एक बिंदु पर एक द्विध्रुव का विद्युत क्षेत्र केवल परिमाण $r$ पर निर्भर नहीं करता, बल्कि $\mathbf{r}$ और $\mathbf{p}$ के बीच के कोण पर भी निर्भर करता है। इसके अलावा, बड़ी दूरी पर क्षेत्र $1 / r^2$ (एकल आवेश के कारण क्षेत्र की विशिष्टता) के रूप में नहीं बल्कि $1 / r^3$ के रूप में घटता है। अब, हम एक द्विध्रुव के कारण विद्युत विभव निर्धारित करते हैं और इसे एकल आवेश के कारण विभव के साथ तुलना करते हैं।

पहले की तरह, हम द्विध्रुव के केंद्र पर मूल बिंदु लेते हैं। अब हम जानते हैं कि विद्युत क्षेत्र अध्यारोपण सिद्धांत का पालन करता है। चूंकि विभव क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य से संबंधित है, स्थिरवैद्युत विभव भी अध्यारोपण सिद्धांत का पालन करता है। इस प्रकार, द्विध्रुव के कारण विभव आवेशों $q$ और $-q$ के कारण विभवों का योग है

$$ \begin{equation*} V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon _{o}}\left(\frac{q}{r _{1}}-\frac{q}{r _{2}}\right) \tag{2.9} \end{equation*} $$

चित्र 2.5 द्विध्रुव के कारण विभव की गणना में शामिल राशियाँ।

जहां $r_1$ और $r_2$ बिंदु $\mathrm{P}$ की क्रमशः $q$ और $-q$ से दूरियाँ हैं। अब, ज्यामिति द्वारा,

$$ \begin{align*} & r_{1}^{2}=r^{2}+a^{2}-2 a r \cos \theta \\ & r_{2}^{2}=r^{2}+a^{2}+2 a r \cos \theta \tag{2.10} \end{align*} $$

हम $r$ को $a(r»a)$ से बहुत बड़ा लेते हैं और केवल $a / r$ में प्रथम कोटि तक के पदों को रखते हैं

$$ \begin{align*} & r_{1}^{2}=r^{2} \quad 1-\frac{2 a \cos \theta}{r}+\frac{a^{2}}{r^{2}} \\ & \cong r^{2} \quad 1-\frac{2 a \cos \theta}{r} \tag{2.11} \end{align*} $$

इसी प्रकार,

$$ \begin{equation*} r_{2}^{2} \cong r^{2} \quad 1+\frac{2 a \cos \theta}{r} \tag{2.12} \end{equation*} $$

द्विपद प्रमेय का उपयोग करके और $a / r$ में प्रथम कोटि तक के पदों को रखते हुए; हम प्राप्त करते हैं,

$\frac{1}{r_{1}} \cong \frac{1}{r}^{r} 1-\frac{2 a \cos \theta}{-1 / 2}^{\frac{1}{r}} 1+\frac{a}{r} \cos \theta$

$\frac{1}{r_{2}} \cong \frac{1}{r} 1+\frac{2 a \cos \theta}{r}^{-1 / 2} \cong \frac{1}{r} 1-\frac{a}{r} \cos \theta$

समीकरण (2.9) और (2.13) और $p=2 q a$ का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

$V=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 a \cos \theta}{r^{2}}=\frac{p \cos \theta}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}$

अब, $p \cos \theta=\mathbf{p} . \hat{\mathbf{r}}$ जहां $\hat{\mathbf{r}}$ स्थिति सदिश $\mathbf{O P}$ के अनुदिश इकाई सदिश है।

एक द्विध्रुव का विद्युत विभव तब दिया जाता है

$$ \begin{equation*} V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{r}}}{r^{2}} ; \quad(r»a) \tag{2.15} \end{equation*} $$

समीकरण (2.15), जैसा कि इंगित किया गया है, केवल द्विध्रुव के आकार की तुलना में बड़ी दूरियों के लिए लगभग सत्य है, ताकि $a / r$ में उच्च कोटि के पद नगण्य हों। मूल बिंदु पर एक बिंदु द्विध्रुव $\mathbf{p}$ के लिए, समीकरण (2.15) हालांकि, यथार्थ है।

समीकरण (2.15) से, द्विध्रुव अक्ष $(\theta=0, \pi)$ पर विभव दिया जाता है

$$ \begin{equation*} V= \pm \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{p}{r^{2}} \tag{2.16} \end{equation*} $$

($\theta=0$ के लिए धनात्मक चिह्न, $\theta=\pi$ के लिए ऋणात्मक चिह्न।) विषुवतीय तल $(\theta=\pi / 2)$ में विभव शून्य है।

एक द्विध्रुव के विद्युत विभव की एकल आवेश के कारण विभव से महत्वपूर्ण विपरीत विशेषताएं समीकरण (2.8) और (2.15) से स्पष्ट हैं:

(i) एक द्विध्रुव के कारण विभव केवल $r$ पर निर्भर नहीं करता बल्कि स्थिति सदिश $\mathbf{r}$ और द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\mathbf{p}$ के बीच के कोण पर भी निर्भर करता है। (हालांकि, यह $\mathbf{p}$ के परितः अक्षीय सममित है। अर्थात, यदि आप स्थिति सदिश $\mathbf{r}$ को $\mathbf{p}$ के परितः घुमाते हैं, $\theta$ को स्थिर रखते हुए, इस प्रकार उत्पन्न शंकु पर $\mathrm{P}$ के संगत बिंदुओं पर P के समान ही विभव होगा।)

(ii) विद्युत द्विध्रुव विभव बड़ी दूरी पर $1 / r^{2}$ के रूप में घटता है, $1 / r$ के रूप में नहीं, जो एकल आवेश के कारण विभव की विशेषता है। (आप $1 / r^{2}$ बनाम $\mathrm{r}$ और $1 / r$ बनाम $r$ के आलेखों के लिए चित्र 2.5 देख सकते हैं, जो वहां एक अन्य संदर्भ में खींचे गए हैं।)

2.5 आवेशों के निकाय के कारण विभव

आवेशों के एक निकाय $q_1, q_2, \ldots, q_{\mathrm{n}}$ पर विचार करें जिनके स्थिति सदिश किसी मूल बिंदु के सापेक्ष $\mathbf{r_1}, \mathbf{r_2}, \ldots$, $\mathbf{r_\mathrm{n}}$ हैं (चित्र 2.6)। आवेश $q_1$ के कारण $\mathrm{P}$ पर विभव $V_1$ है

$$ V_{1}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1}}{r_{1 \mathrm{P}}} $$

जहां $r_{1 \mathrm{P}}$ $q_{1}$ और $\mathrm{P}$ के बीच की दूरी है। इसी प्रकार, $q_{2}$ के कारण $\mathrm{P}$ पर विभव $V_{2}$ और $q_{3}$ के कारण $V_{3}$ दिए जाते हैं

$$ V_{2}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{2}}{r_{2 \mathrm{P}}}, V_{3}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{3}}{r_{3 \mathrm{P}}} $$

जहां $r_{2 \mathrm{P}}$ और $r_{3 \mathrm{P}}$ $\mathrm{P}$ की आवेशों $q_{2}$ और $q_{3}$ से दूरियाँ हैं, क्रमशः; और अन्य आवेशों के कारण विभव के लिए भी ऐसा ही है। अध्यारोपण सिद्धांत द्वारा, कुल आवेश विन्यास के कारण $\mathrm{P}$ पर विभव $V$ व्यष्टिगत आवेशों के कारण विभवों का बीजगणितीय योग है

$$ \begin{equation*} \stackrel{V}{V}=V_{1}+V_{2}+\ldots+V_{\mathrm{n}} \tag{2.17} \end{equation*} $$

चित्र 2.6 आवेशों के निकाय के कारण एक बिंदु पर विभव व्यष्टिगत आवेशों के कारण विभवों का योग है।

$$ =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\left(\frac{q_1}{r_{1 \mathrm{P}}}+\frac{q_2}{r_{2 \mathrm{P}}}+\ldots \ldots+\frac{q_n}{r_{n \mathrm{P}}}\right)\tag{18} $$

यदि हमारे पास एक सतत आवेश वितरण है जो एक आवेश घनत्व $\rho(\mathbf{r})$ द्वारा अभिलक्षित है, तो हम इसे, पहले की तरह, छोटे आयतन अवयवों में विभाजित करते हैं जिनमें से प्रत्येक का आकार $\Delta v$ है और एक आवेश $\rho \Delta v$ वहन करता है। हम तब प्रत्येक आयतन अवयव के कारण विभव निर्धारित करते हैं और सभी ऐसे योगदानों पर योग (सख्ती से कहें तो, समाकलन) करते