5.1 भूमिका

‘कार्य’, ‘ऊर्जा’ और ‘शक्ति’ शब्दों का प्रयोग प्रतिदिन के भाषण में बार-बार होता है। खेत जोतता हुआ किसान, ईंटें ढोता हुआ निर्माण श्रमिक, प्रतियोगी परीक्षा की तैयारी करता हुआ छात्र, सुंदर प्राकृतिक दृश्य चित्रित करता हुआ कलाकार, सभी कार्य करते हुए कहे जाते हैं। परंतु भौतिकी में ‘कार्य’ शब्द का एक निश्चित और स्पष्ट अर्थ होता है। जो व्यक्ति प्रतिदिन 14-16 घंटे कार्य करने की क्षमता रखता है, उसके पास अधिक सहनशक्ति या ऊर्जा कही जाती है। हम लंबी दूरी की धाविका की उसकी सहनशक्ति या ऊर्जा के लिए प्रशंसा करते हैं। इस प्रकार ऊर्जा हमारे कार्य करने की क्षमता है। भौतिकी में भी ‘ऊर्जा’ शब्द इसी अर्थ में कार्य से संबंधित है, परंतु जैसा ऊपर कहा गया है, ‘कार्य’ शब्द स्वयं अधिक स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। ‘शक्ति’ शब्द का प्रयोग दैनिक जीवन में भिन्न-भिन्न अर्थों में होता है। कराटे या मुक्केबाजी में हम ‘शक्तिशाली’ प्रहारों की बात करते हैं। ये अत्यधिक चाल से किए जाते हैं। अर्थ की यह बारीकी भौतिकी में प्रयुक्त ‘शक्ति’ शब्द के अर्थ के निकट है। हम पाएंगे कि इन शब्दों द्वारा हमारे मन में उत्पन्न होने वाली भौतिक परिभाषाओं और शारीरिक चित्रों के बीच अधिक से अधिक एक ढीला संबंध है। इस अध्याय का उद्देश्य इन तीन भौतिक राशियों की समझ विकसित करना है। इस कार्य पर आगे बढ़ने से पहले, हमें एक गणितीय पूर्वापेक्षा विकसित करने की आवश्यकता है, अर्थात दो सदिशों का अदिश गुणनफल।

5.1.1 अदिश गुणनफल

हमने सदिशों और अध्याय 3 में उनके उपयोग के बारे में सीखा है। विस्थापन, वेग, त्वरण, बल आदि जैसी भौतिक राशियाँ सदिश हैं। हमने यह भी सीखा है कि सदिशों को कैसे जोड़ा या घटाया जाता है। अब हमें यह जानने की आवश्यकता है कि सदिशों को कैसे गुणा किया जाता है। सदिशों को गुणा करने के दो तरीके हैं जिनसे हमारा सामना होगा: एक तरीका जिसे अदिश गुणनफल कहा जाता है, दो सदिशों से एक अदिश देता है और दूसरा जिसे सदिश गुणनफल कहा जाता है, दो सदिशों से एक नया सदिश उत्पन्न करता है। हम सदिश गुणनफल को अध्याय 6 में देखेंगे। यहाँ हम दो सदिशों के अदिश गुणनफल को लेते हैं। किन्हीं दो सदिशों A और B का अदिश गुणनफल या बिंदु गुणनफल, जिसे A.B (पढ़ा जाता है $\mathbf{A} \operatorname{dot} \mathbf{B}$) के रूप में दर्शाया जाता है, को परिभाषित किया जाता है

$$ \begin{equation*} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=A B \cos \theta \tag{5.1a} \end{equation*} $$

यहाँ $\theta$ दोनों सदिशों के बीच का कोण है जैसा कि चित्र 5.1(a) में दिखाया गया है। चूँकि $A, B$ और $\cos \theta$ अदिश राशियाँ हैं, $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ का बिंदु गुणनफल एक अदिश राशि है। प्रत्येक सदिश, $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$, की एक दिशा होती है लेकिन उनके अदिश गुणनफल की कोई दिशा नहीं होती।

समीकरण (5.1a) से, हमारे पास है

$$ \begin{aligned} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} & =A(B \cos \theta) \\ & =B(A \cos \theta) \end{aligned} $$

ज्यामितीय रूप से, $B \cos \theta$, चित्र 5.1 (b) में $\mathbf{B}$ का $\mathbf{A}$ पर प्रक्षेपण है और $A \cos \theta$, चित्र 5.1 (c) में $\mathbf{A}$ का $\mathbf{B}$ पर प्रक्षेपण है। इसलिए, A.B, $\mathbf{A}$ के परिमाण और A के अनुदिश $\mathbf{B}$ के घटक का गुणनफल है। वैकल्पिक रूप से, यह $\mathbf{B}$ के परिमाण और $\mathbf{A}$ के $\mathbf{B}$ के अनुदिश घटक का गुणनफल है।

समीकरण (5.1a) दर्शाता है कि अदिश गुणनफल क्रमविनिमेय नियम का पालन करता है:

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}$

अदिश गुणनफल वितरण नियम का पालन करता है:

$\mathbf{A} \cdot(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}+\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}$

इसके अलावा, $\quad \mathbf{A} \cdot(\lambda \mathbf{B})=\lambda(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$

जहाँ $\lambda$ एक वास्तविक संख्या है।

उपरोक्त समीकरणों के प्रमाण आपके लिए अभ्यास के रूप में छोड़े गए हैं।

इकाई सदिशों $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}$ के लिए हमारे पास है

$$ \begin{aligned} & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=1 \\ & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=0 \end{aligned} $$

दो सदिश दिए गए हैं

$$ \begin{aligned} & \mathbf{A}=A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}} \\ & \mathbf{B}=B_{x} \hat{\mathbf{i}}+B_{y} \hat{\mathbf{j}}+B_{z} \hat{\mathbf{k}} \end{aligned} $$

उनका अदिश गुणनफल है

$$ \begin{align*} & \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\left(A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \cdot\left(B_{x} \hat{\mathbf{i}}+B_{y} \hat{\mathbf{j}}+B_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \\ & =A_{x} B_{x}+A_{y} B_{y}+A_{z} B_{z} \tag{5.1b} \end{align*} $$

अदिश गुणनफल की परिभाषा और (समीकरण 5.1b) से हमारे पास है:

$$ \begin{equation*} \text{(i)} \quad \quad \quad \quad \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=A_{x} A_{x}+A_{y} A_{y}+A_{z} A_{z} \end{equation*} $$

$$\text{Or, } \quad\quad\quad\quad A^{2}=A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2} \tag{5.1c}$$

चूँकि $\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=|\mathbf{A}||\mathbf{A}| \cos 0=A^{2}$।

(ii) $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=0$, यदि $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ लंबवत हैं।

उदाहरण 5.1 बल $\mathbf{F}=(3 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}-5 \hat{\mathbf{k}})$ इकाई और विस्थापन $\mathbf{d}=(5 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}})$ इकाई के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। साथ ही $\mathbf{F}$ का $\mathbf{d}$ पर प्रक्षेपण भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर $\mathbf{F} \cdot \mathbf{d}=F_{x} d_{x}+F_{y} d_{y}+F_{z} d_{z}$

$$ \begin{aligned} & =3(5)+4(4)+(-5)(3) \\ & =16 \text { unit } \end{aligned} $$

अतः $\mathbf{F} \cdot \mathbf{d}=F d \cos \theta=16$ इकाई

अब $\mathbf{F} \cdot \mathbf{F}$ $$ =F^{2}=F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2} $$

$$ \begin{aligned} & =9+16+25 \\ & =50 \text { unit } \end{aligned} $$

और $\mathbf{d} \cdot \mathbf{d} \quad=d^{2}=d_{x}^{2}+d_{y}^{2}+d_{z}^{2}$

$$ =25+16+9 $$

$$ =50 \text { unit } $$

$\therefore \cos \theta=\frac{16}{\sqrt{50} \sqrt{50}}=\frac{16}{50}=0.32$,

$\theta=\cos ^{-1} 0.32$

चित्र 5.1 (a) दो सदिशों A और B का अदिश गुणनफल एक अदिश है: A.B = A B cos θ. (b) B cos θ, B का A पर प्रक्षेपण है। (c) A cos θ, A का B पर प्रक्षेपण है।

5.2 कार्य और गतिज ऊर्जा की अवधारणाएँ: कार्य-ऊर्जा प्रमेय

अध्याय 3 में नियत त्वरण $a$ के अंतर्गत रेखीय गति के लिए निम्नलिखित संबंध मिला था,

$$ \begin{equation*} v^{2}-u^{2}=2 a s \tag{5.2} \end{equation*} $$

जहाँ $u$ और $v$ प्रारंभिक और अंतिम चाल हैं और $s$ तय की गई दूरी है। दोनों पक्षों को $m / 2$ से गुणा करने पर, हमारे पास है

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m a s=F s \tag{5.2a} \end{equation*} $$

जहाँ अंतिम चरण न्यूटन के द्वितीय नियम से प्राप्त होता है। हम समीकरण (5.2) को सदिशों का उपयोग करके तीन विमाओं के लिए सामान्यीकृत कर सकते हैं

$$ v^{2}-u^{2}=2 \text { a.d } $$

यहाँ $\mathbf{a}$ और $\mathbf{d}$ क्रमशः वस्तु के त्वरण और विस्थापन सदिश हैं। एक बार फिर दोनों पक्षों को $\mathrm{m} / 2$ से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m \mathbf{a} \cdot \mathbf{d}=\mathbf{F} . \mathbf{d} \tag{5.2b} \end{equation*} $$

उपरोक्त समीकरण कार्य और गतिज ऊर्जा की परिभाषाओं के लिए एक प्रेरणा प्रदान करता है। समीकरण का बायाँ पक्ष ‘द्रव्यमान का आधा गुना चाल का वर्ग’ राशि में उसके प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक का अंतर है। हम इनमें से प्रत्येक राशि को ‘गतिज ऊर्जा’ कहते हैं, जिसे $K$ से दर्शाया जाता है। दायाँ पक्ष विस्थापन और विस्थापन की दिशा में बल के घटक का गुणनफल है। इस राशि को ‘कार्य’ कहा जाता है और इसे W से दर्शाया जाता है। समीकरण (5.2b) तब है

$$ \begin{equation*} K_{f}-K_{i}=W \tag{5.3} \end{equation*} $$

जहाँ $K_{i}$ और $K_{f}$ क्रमशः वस्तु की प्रारंभिक और अंतिम गतिज ऊर्जाएँ हैं। कार्य बल और उस विस्थापन को संदर्भित करता है जिस पर यह कार्य करता है। कार्य एक बल द्वारा वस्तु पर एक निश्चित विस्थापन पर किया जाता है।

समीकरण (5.2) कार्य-ऊर्जा (WE) प्रमेय का भी एक विशेष मामला है: एक कण की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन उस पर नेट बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है। हम उपरोक्त व्युत्पत्ति को एक परिवर्ती बल के लिए बाद के एक अनुभाग में सामान्यीकृत करेंगे।

उदाहरण 5.2 यह सर्वविदित है कि एक वर्षा की बूंद नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल और विरोधी प्रतिरोधी बल के प्रभाव में गिरती है। यह ज्ञात है कि उत्तरार्द्ध बूंद की चाल के समानुपाती होता है लेकिन अन्यथा अज्ञात होता है। द्रव्यमान $1.00 \mathrm{~g}$ की एक बूंद पर विचार करें जो ऊँचाई $1.00 \mathrm{~km}$ से गिर रही है। यह जमीन से $50.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ की चाल से टकराती है। (a) गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य क्या है? अज्ञात प्रतिरोधी बल द्वारा किया गया कार्य क्या है?

उत्तर (a) बूंद की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन है

$$ \begin{aligned} & \Delta K=\frac{1}{2} m v^{2}-0 \\ & =\frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 50 \times 50 \\ & =1.25 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

जहाँ हमने यह माना है कि बूंद प्रारंभ में विरामावस्था में है। यह मानते हुए कि $g$ एक नियतांक है जिसका मान $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ है, गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य है,

$$ \begin{aligned} W_{g} & =m g h \\ & =10^{-3} \times 10 \times 10^{3} \\ & =10.0 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

(b) कार्य-ऊर्जा प्रमेय से

$$ \Delta K=W_{g}+W_{r} $$

जहाँ $W_{r}$ प्रतिरोधी बल द्वारा वर्षा की बूंद पर किया गया कार्य है। इस प्रकार

$$ \begin{aligned} W_{r} & =\Delta K-W_{g} \\ & =1.25-10 \\ & =-8.75 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

ऋणात्मक है।

5.3 कार्य

जैसा पहले देखा गया, कार्य बल और उस विस्थापन से संबंधित है जिस पर यह कार्य करता है। एक नियत बल $\mathbf{F}$ पर विचार करें जो द्रव्यमान $m$ की एक वस्तु पर कार्य कर रहा है। वस्तु धनात्मक $x$-दिशा में विस्थापन $\mathbf{d}$ से गुजरती है जैसा कि चित्र 5.2 में दिखाया गया है।

चित्र 5.2 एक वस्तु बल F के प्रभाव में विस्थापन d से गुजरती है।

बल द्वारा किए गए कार्य को विस्थापन की दिशा में बल के घटक और इस विस्थापन के परिमाण के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस प्रकार

$$ \begin{equation*} W=(F \cos \theta) d=\mathbf{F} \cdot \mathbf{d} \tag{5.4} \end{equation*} $$

हम देखते हैं कि यदि कोई विस्थापन नहीं है, तो बल के बड़ा होने पर भी कोई कार्य नहीं किया जाता है। इस प्रकार, जब आप एक दृढ़ ईंट की दीवार के विरुद्ध जोर से धकेलते हैं, तो आप दीवार पर जो बल लगाते हैं वह कोई कार्य नहीं करता है। फिर भी आपकी मांसपेशियाँ वैकल्पिक रूप से सिकुड़ रही हैं और शिथिल हो रही हैं और आंतरिक ऊर्जा का उपयोग हो रहा है और आप थक जाते हैं। इस प्रकार, भौतिकी में कार्य का अर्थ दैनिक भाषा में इसके प्रयोग से भिन्न है।

कोई कार्य नहीं किया जाता है यदि:

(i) विस्थापन शून्य है जैसा कि ऊपर के उदाहरण में देखा गया है। एक भारोत्तोलक 150 $\mathrm{kg}$ द्रव्यमान को $30 \mathrm{~s}$ के लिए अपने कंधे पर स्थिर रूप से पकड़े रहता है, इस समय के दौरान भार पर कोई कार्य नहीं करता है।

(ii) बल शून्य है। एक चिकनी क्षैतिज मेज पर गतिमान गुटका किसी क्षैतिज बल (चूँकि कोई घर्षण नहीं है) द्वारा कार्य नहीं किया जाता है, लेकिन एक बड़े विस्थापन से गुजर सकता है।

(iii) बल और विस्थापन परस्पर लंबवत हैं। यह ऐसा है क्योंकि, $\theta=\pi / 2 \mathrm{rad}$ $\left(=90^{\circ}\right), \cos (\pi / 2)=0$ के लिए। एक चिकनी क्षैतिज मेज पर गतिमान गुटके के लिए, गुरुत्वाकर्षण बल $m g$ कोई कार्य नहीं करता है क्योंकि यह विस्थापन के समकोण पर कार्य करता है। यदि हम मानते हैं कि चंद्रमा की पृथ्वी के चारों ओर कक्षा पूर्णतः वृत्ताकार है तो पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण बल कोई कार्य नहीं करता है। चंद्रमा का तात्कालिक विस्थापन स्पर्शरेखीय है जबकि पृथ्वी का बल अंदर की ओर त्रिज्यीय है और $\theta=\pi / 2$।

कार्य धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हो सकता है। यदि $\theta$, $0^{\circ}$ और $90^{\circ}, \cos \theta$ के बीच है तो समीकरण (5.4) में धनात्मक है। यदि $\theta$, $90^{\circ}$ और $180^{\circ}, \cos \theta$ के बीच है तो ऋणात्मक है। कई उदाहरणों में घर्षण बल विस्थापन का विरोध करता है और $\theta=180^{\circ}$। तब घर्षण द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक होता है $\left(\cos 180^{\circ}=-1\right)$।

समीकरण (5.4) से यह स्पष्ट है कि कार्य और ऊर्जा के समान विमाएँ हैं, $\left[\mathrm{ML}^{2} \mathrm{~T}^{-2}\right]$। इनकी SI इकाई जूल (J) है, जिसका नाम प्रसिद्ध ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी जेम्स प्रेस्कॉट जूल (1811-1869) के नाम पर रखा गया है। चूँकि कार्य और ऊर्जा भौतिक अवधारणाओं के रूप में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं, वैकल्पिक इकाइयाँ प्रचुर मात्रा में हैं और इनमें से कुछ को तालिका 5.1 में सूचीबद्ध किया गया है।

तालिका 5.1 $\mathrm{J}$ में कार्य/ऊर्जा की वैकल्पिक इकाइयाँ

उदाहरण 5.3 एक साइकिल सवार $10 \mathrm{~m}$ में फिसलकर रुक जाता है। इस प्रक्रिया के दौरान, सड़क के कारण साइकिल पर बल $200 \mathrm{~N}$ है और सीधे गति का विरोध करता है। (a) सड़क साइकिल पर कितना कार्य करती है? (b) साइकिल सड़क पर कितना कार्य करती है?

उत्तर सड़क द्वारा साइकिल पर किया गया कार्य, सड़क के कारण साइकिल पर रोकने वाले (घर्षण) बल द्वारा किया गया कार्य है।

(a) रोकने वाला बल और विस्थापन एक दूसरे के साथ $180^{\circ}$ ( $\pi \mathrm{rad}$) का कोण बनाते हैं। इस प्रकार, सड़क द्वारा किया गया कार्य,

$$ \begin{aligned} W_{r} & =F d \cos \theta \\ & =200 \times 10 \times \cos \pi \\ & =-2000 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

यह यह ऋणात्मक कार्य है जो साइकिल को WE प्रमेय के अनुसार रोक देता है।

(b) न्यूटन के तृतीय नियम से साइकिल के कारण सड़क पर एक समान और विपरीत बल कार्य करता है। इसका परिमाण 200 N है। हालाँकि, सड़क कोई विस्थापन नहीं करती है। इस प्रकार, साइकिल द्वारा सड़क पर किया गया कार्य शून्य है।

उदाहरण 5.3 की सीख यह है कि हालाँकि किसी पिंड A पर पिंड $\mathrm{B}$ द्वारा लगाया गया बल हमेशा B पर A द्वारा लगाए गए बल के बराबर और विपरीत होता है (न्यूटन का तृतीय नियम); A पर B द्वारा किया गया कार्य आवश्यक रूप से $\mathrm{B}$ पर $\mathrm{A}$ द्वारा किए गए कार्य के बराबर और विपरीत नहीं होता है।

5.4 गतिज ऊर्जा

जैसा पहले नोट किया गया, यदि द्रव्यमान $m$ की एक वस्तु का वेग $\mathbf{v}$ है, तो उसकी गतिज ऊर्जा $K$ है

$$ \begin{equation*} K=\frac{1}{2} m \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}=\frac{1}{2} m v^{2} \tag{5.5} \end{equation*} $$

तालिका 5.2 विशिष्ट गतिज ऊर्जाएँ (K)

गतिज ऊर्जा एक अदिश राशि है। किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा उस कार्य का माप है जो एक वस्तु अपनी गति के गुण के कारण कर सकती है। यह धारणा लंबे समय से सहज रूप से ज्ञात है। तेज बहते हुए प्रवाह की गतिज ऊर्जा का उपयोग अनाज पीसने के लिए किया गया है। पाल वाले जहाज हवा की गतिज ऊर्जा का उपयोग करते हैं। तालिका 5.2 विभिन्न वस्तुओं के लिए गतिज ऊर्जाओं को सूचीबद्ध करती है।

उदाहरण 5.4 एक बैलिस्टिक्स प्रदर्शन में एक पुलिस अधिकारी द्रव्यमान $50.0 \mathrm{~g}$ की गोली को चाल $200 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ (तालिका 5.2 देखें) से मोटी $2.00 \mathrm{~cm}$ की नरम प्लाईवुड पर दागता है। गोली अपनी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा के केवल $10 \%$ के साथ निकलती है। गोली की निकलने वाली चाल क्या है?

उत्तर गोली की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $m v^{2} / 2=1000 \mathrm{~J}$ है। इसकी अंतिम गतिज ऊर्जा $0.1 \times 1000=100 \mathrm{~J}$ है। यदि $v_{f}$ गोली की निकलने वाली चाल है,

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} m v_{f}^{2}=100 \mathrm{~J} \\ & v_{f}=\sqrt{\frac{2 \times 100 \mathrm{~J}}{0.05 \mathrm{~kg}}} \\ & \quad=63.2 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

चाल लगभग $68 \%$ कम हो जाती है (90% नहीं)।

5.5 एक परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य

एक नियत बल दुर्लभ होता है। यह परिवर्ती बल है, जो अधिक सामान्यतः सामने आता है। चित्र 5.3 एक विमा में एक परिवर्ती बल का आलेख है।

यदि विस्थापन $\Delta x$ छोटा है, तो हम बल $F(x)$ को लगभग नियत मान सकते हैं और तब किया गया कार्य है

$$ \Delta W=F(x) \Delta x $$

इसे चित्र 5.3(a) में दर्शाया गया है। चित्र 5.3(a) में क्रमिक आयताकार क्षेत्रों को जोड़कर हम कुल किया गया कार्य प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} W \cong \sum_{x_{i}}^{x_{f}} F(x) \Delta x \tag{5.6} \end{equation*} $$

जहाँ योग प्रारंभिक स्थिति $x_{i}$ से अंतिम स्थिति $x_{f}$ तक है

यदि विस्थापनों को शून्य के निकट जाने की अनुमति दी जाती है, तो योग में पदों की संख्या बिना सीमा के बढ़ जाती है, लेकिन योग एक निश्चित मान के निकट पहुँच जाता है जो चित्र 5.3(b) में वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है। तब किया गया कार्य है

$$W =\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \sum_{x_{i}}^{x_{f}} F(x) \Delta x$$

$$=\int\limits_{x_i}^{x_f} F(x) \mathrm{d} x \tag{5.7}$$

जहाँ ’lim’ योग की सीमा के लिए खड़ा है जब $\Delta x$ शून्य की ओर प्रवृत्त होता है। इस प्रकार, एक परिवर्ती बल के लिए किए गए कार्य को विस्थापन पर बल के एक निश्चित समाकल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (परिशिष्ट 3.1 भी देखें)।

चित्र 5.3(a)

चित्र 5.3 (a) छायांकित आयत परिवर्ती बल F(x) द्वारा छोटे विस्थापन ∆x पर किए गए कार्य को दर्शाता है, ∆W = F(x) ∆x. (b) सभी आयतों के क्षेत्रफलों को जोड़कर हम पाते हैं कि ∆x → 0 के लिए, वक्र के नीचे का क्षेत्रफल ठीक F(x) द्वारा किए गए कार्य के बराबर है।

उदाहरण 5.5 एक महिला रेलवे प्लेटफॉर्म पर एक संदूक को धकेलती है जिसकी सतह खुरदरी है। वह $10 \mathrm{~m}$ की दूरी पर $100 \mathrm{~N}$ का बल लगाती है। इसके बाद, वह धीरे-धीरे थक जाती है और उसका लगाया गया बल दूरी के साथ रैखिक रूप से घटकर $50 \mathrm{~N}$ हो जाता है। वह कुल दूरी जिसके माध्यम से संदूक को स्थानांतरित किया गया है, $20 \mathrm{~m}$ है। महिला द्वारा लगाए गए बल और घर्षण बल, जो $50 \mathrm{~N}$ है, को विस्थापन के विरुद्ध आलेखित कीजिए। $20 \mathrm{~m}$ पर दोनों बलों द्वारा किए गए कार्य की गणना कीजिए।

उत्तर

चित्र 5.4 महिला द्वारा लगाए गए बल F और विरोधी घर्षण बल f का विस्थापन के विरुद्ध आलेख।

लगाए गए बल का आलेख चित्र 5.4 में दिखाया गया है। $x=20 \mathrm{~m}, F=50 \mathrm{~N}(\neq 0)$ पर। हमें दिया गया है कि घर्षण बल $f$, $|\mathbf{f}|=50 \mathrm{~N}$ है। यह गति का विरोध करता है और $\mathbf{F}$ की विपरीत दिशा में कार्य करता है। इसलिए, इसे बल अक्ष के ऋणात्मक पक्ष पर दिखाया गया है।

महिला द्वारा किया गया कार्य है

$W_{F} \rightarrow$ आयत $\mathrm{ABCD}+$ का क्षेत्रफल + समलंब चतुर्भुज CEID का क्षेत्रफल

$$ \begin{aligned} & W_{F}=100 \times 10+\frac{1}{2}(100+50) \times 10 \\ & =1000+750 \\ & \quad=1750 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य है

$W_{f} \rightarrow$ आयत AGHI का क्षेत्रफल

$$ \begin{aligned} W_{f} & =(-50) \times 20 \\ & =-1000 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

बल अक्ष के ऋणात्मक पक्ष के क्षेत्रफल का एक ऋणात्मक चिह्न होता है।

5.6 एक परिवर्ती बल के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय

अब हम एक परिवर्ती बल के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय को सिद्ध करने के लिए कार्य और गतिज ऊर्जा की अवधारणाओं से परिचित हैं। हम स्वयं को एक विमा तक सीमित रखते हैं। गतिज ऊर्जा की समय दर है

$$ \frac{\mathrm{d} K}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{1}{2} m v^{2} $$ $$ \begin{aligned} & =m \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} v \\ & =F v\text { (from Newton’s Second Law) } \\ & =F \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} \end{aligned} $$

इस प्रकार

$$ \mathrm{d} K=F \mathrm{~d} x $$

प्रारंभिक स्थिति $\left(x_{i}\right)$ से अंतिम स्थिति $\left(x_{f}\right.$ तक समाकलन करने पर, हमारे पास है

$$ \int_{K_{i}}^{K_{f}} \mathrm{~d} K=\int_{x_{i}}^{x_{f}} F \mathrm{~d} x $$

जहाँ, $K_{i}$ और $K_{f}$, $x_{i}$ और $x_{\mathrm{f}}$ के संगत प्रारंभिक और अंतिम गतिज ऊर्जाएँ हैं।

$$ \begin{equation*} \text { or } \quad K_{f}-K_{i}=\int_{x_{i}}^{x_{f}} F \mathrm{~d} x \tag{5.8a} \end{equation*} $$

समीकरण (5.7) से, यह निष्कर्ष निकलता है कि

$$ \begin{equation*} K_{f}-K_{i}=W \tag{5.8b} \end{equation*} $$

इस प्रकार, एक परिवर्ती बल के लिए WE प्रमेय सिद्ध होता है।

जबकि WE प्रमेय विभिन्न प्रकार की समस्याओं में उपयोगी है, यह सामान्यतः न्यूटन के द्वितीय नियम की पूर्ण गतिकीय जानकारी को शामिल नहीं करता है। यह न्यूटन के द्वितीय नियम का एक समाकल रूप है। न्यूटन का द्वितीय नियम किसी भी क्षण त्वरण और बल के बीच एक संबंध है। कार्य-ऊर्जा प्रमेय में समय के एक अंतराल पर एक समाकल शामिल होता है। इस अर्थ में, न्यूटन के द्वितीय नियम के कथन में निहित लौकिक (समय) जानकारी ‘समाकलित हो जाती है’ और स्पष्ट रूप से उपलब्ध नहीं होती है। एक अन्य अवलोकन यह है कि दो या तीन विमाओं के लिए न्यूटन का द्वितीय नियम सदिश रूप में है जबकि कार्य-ऊर्जा प्रमेय अदिश रूप में है। अदिश रूप में, न्यूटन के द्वितीय नियम में निहित दिशाओं के संबंध में जानकारी मौजूद नहीं होती है।

उदाहरण 5.6 द्रव्यमान $m=1 \mathrm{~kg}$ का एक गुट