वर्गमूल

किसी संख्या का वर्गमूल एक ऐसा मान होता है जिसे स्वयं से गुणा करने पर वह मूल संख्या प्राप्त होती है। इसे गणितीय रूप से √x द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ x संख्या है।

उदाहरण के लिए, $9$ का वर्गमूल $3$ है क्योंकि $3$ x $3 = 9$।

वर्गमूल की गणना विभिन्न विधियों से की जा सकती है, जिनमें बेबिलोनियन विधि, लंबी विभाजन और कैलकुलेटर का उपयोग शामिल है।

किसी संख्या का वर्गमूल या तो एक परिमेय संख्या (दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त की जा सकने वाली) हो सकता है या एक अपरिमेय संख्या (गैर-आवर्ती, गैर-समाप्त दशमलव)।

किसी ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्या नहीं होता है और इसे एक काल्पनिक संख्या के रूप में दर्शाया जाता है, जिसे i प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है।

वर्गमूल का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, जिनमें गणित, भौतिकी, इंजीनियरिंग और कंप्यूटर विज्ञान शामिल हैं।

वर्गमूल की परिभाषा

किसी भी संख्या का वर्गमूल एक ऐसी संख्या के बराबर होता है जिसे वर्ग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। मान लीजिए m एक धनात्मक पूर्णांक है, ताकि $√(m.m) = √(m^2) = m$

गणित में, एक वर्गमूल फलन को एक-से-एक फलन के रूप में परिभाषित किया गया है जो एक धनात्मक संख्या को इनपुट के रूप में लेता है और दी गई इनपुट संख्या का वर्गमूल लौटाता है।

$f(x) = √x$

वर्गमूल के उदाहरण

यहाँ कुछ वर्गमूल के उदाहरण दिए गए हैं:

• 1 का वर्गमूल 1 है।
• 4 का वर्गमूल 2 है।
• 9 का वर्गमूल 3 है।
• 16 का वर्गमूल 4 है।
• 25 का वर्गमूल 5 है।

वर्गमूल प्रतीक

वर्गमूल प्रतीक को आमतौर पर ‘√’ के रूप में दर्शाया जाता है। इसे रेडिकल प्रतीक कहा जाता है। किसी संख्या ‘x’ को वर्गमूल के रूप में इस प्रतीक से दर्शाने के लिए इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: ‘ √x ‘

जहाँ x संख्या है। रेडिकल प्रतीम के नीचे आने वाली संख्या को रेडिकेंड कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 6 का वर्गमूल 6 के रेडिकल के रूप में भी दर्शाया जाता है। दोनों एक ही मान को दर्शाते हैं।

वर्गमूल सूत्र

वर्गमूल ज्ञात करने का सूत्र है:

$y = √a$

चूँकि, $y.y = y^2 = a$; जहाँ ‘a’ किसी संख्या ‘y’ का वर्ग है।

वर्गमूल के गुण

किसी संख्या का वर्गमूल वह संख्या होती है जिसे स्वयं से गुणा करने पर वास्तविक संख्या प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, 9 का वर्गमूल 3 है क्योंकि 3 x 3 = 9।

वर्गमूलों के कई गुण होते हैं जिन्हें जानना उपयोगी होता है। ये गुण गणनाओं को सरल बनाने और समस्याओं को हल करने में प्रयोग किए जा सकते हैं।

1. किसी धनात्मक संख्या का वर्गमूल सदैव धनात्मक होता है।

ऐसा इसलिए है क्योंकि किसी धनात्मक संख्या का वर्ग सदैव धनात्मक होता है। उदाहरण के लिए, 4 का वर्गमूल 2 है क्योंकि 2 x 2 = 4।

2. किसी ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्या नहीं होता है।

ऐसा इसलिए है क्योंकि किसी ऋणात्मक संख्या का वर्ग सदैव ऋणात्मक होता है। उदाहरण के लिए, -4 का वर्गमूल वास्तविक संख्या नहीं है क्योंकि कोई ऐसी संख्या नहीं है जिसे स्वयं से गुणा करने पर -4 प्राप्त हो।

3. 0 का वर्गमूल 0 होता है।

ऐसा इसलिए है क्योंकि 0 x 0 = 0।

4. 1 का वर्गमूल 1 होता है।

ऐसा इसलिए है क्योंकि 1 x 1 = 1।

5. एक भिन्न का वर्गमूल अंश के वर्गमूल को हर के वर्गमूल से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।

उदाहरण के लिए, 9/4 का वर्गमूल 3/2 है क्योंकि 3/2 × 3/2 = 9/4।

6. गुणनफल का वर्गमूल वर्गमूलों के गुणनफल के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, 9 × 4 का वर्गमूल 3 × 2 = 6 है।

7. भागफल का वर्गमूल वर्गमूलों के भागफल के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, 9/4 का वर्गमूल 3/2 है क्योंकि 3/2 ÷ 3/2 = 1।

8. घात का वर्गमूल वर्गमूल की घात के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, $9^2$ का वर्गमूल $3^2 = 9$ है।

9. योग का वर्गमूल वर्गमूलों के योग के बराबर नहीं होता।

उदाहरण के लिए, 9 + 4 का वर्गमूल 3 + 2 के बराबर नहीं है।

10. अंतर का वर्गमूल वर्गमूलों के अंतर के बराबर नहीं होता।

उदाहरण के लिए, 9 - 4 का वर्गमूल 3 - 2 के बराबर नहीं है।

ये वर्गमूलों के कुछ गुणधर्म हैं। इन मूलभूत गुणधर्मों से कई अन्य गुणधर्म व्युत्पन्न किए जा सकते हैं।

संख्याओं का वर्गमूल कैसे निकालें?

संख्याओं का वर्गमूल निकालने की विधियाँ हैं:

वर्गमूल अभाज्य गुणनफल द्वारा

वर्गमूल बारंबार घटाव विधि द्वारा

वर्गमूल लंबी विभाजन विधि द्वारा

वर्गमूल अभाज्य गुणनफल द्वारा

एक पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल अभाज्य गुणनफल विधि से आसानी से निकाला जा सकता है। आइए कुछ उदाहरण हल करें:

$ 4 = 2 \times 2 \Rightarrow \sqrt 4 =2$

$ 9 = 3 \times 3 \Rightarrow \sqrt 9 =3$

$ 16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \Rightarrow \sqrt 16 =4$

$ 169 = 13 \times 13 \Rightarrow \sqrt 169 =13$

पुनरावृत्ति घटाव विधि द्वारा वर्गमूल ज्ञात करना

पुनरावृत्ति घटाव विधि के अनुसार, यदि कोई संख्या एक पूर्ण वर्ग है, तो हम इसके वर्गमूल को निम्नलिखित प्रकार से निर्धारित कर सकते हैं:

इसमें से लगातार क्रमागत विषम संख्याओं को घटाते जाएँ तब तक घटाएँ जब तक अंतर शून्य न हो जाए जितनी बार हम घटाते हैं, वही अभीष्ट वर्गमूल होता है उदाहरण के लिए, आइए 16 का वर्गमूल ज्ञात करें।

16-1=15

15-3=12

12-5=7

7-7=0

चूँकि घटाव 4 बार किया गया है, इसलिए 16 का वर्गमूल 4 है।

लंबी विभाजन विधि द्वारा वर्गमूल

अपूर्ण संख्याओं के लिए वर्गमूल ज्ञात करना थोड़ा कठिन होता है, लेकिन हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग करके गणना कर सकते हैं। इसे नीचे दिए गए उदाहरण की सहायता से समझा जा सकता है। 1849 का वर्गमूल ज्ञात करने के उदाहरण पर विचार करें।

पूर्ण वर्गों के वर्गमूल

किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल एक ऐसी संख्या होती है जो स्वयं से गुणा करने पर वही पूर्ण वर्ग उत्पन्न करती है। उदाहरण के लिए, 16 का वर्गमूल 4 है क्योंकि 4 × 4 = 16।

पूर्ण वर्ग का वर्गमूल ज्ञात करना

पूर्ण वर्ग का वर्गमूल ज्ञात करने के कुछ अलग-अलग तरीके हैं। एक तरीका कैलकुलेटर का उपयोग करना है। बस संख्या को कैलकुलेटर में दर्ज करें और “√” बटन दबाएँ।

एक पूर्ण वर्ग का वर्गमूल निकालने का एक और तरीका निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करना है:

$√x = x^{1/2}$

जहाँ x पूर्ण वर्ग है।

उदाहरण के लिए, 16 का वर्गमूल निकालने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करेंगे:

$√16 = 16^{1/2} = 4$

पूर्ण वर्गों के वर्गमूलों के उदाहरण

यहाँ पूर्ण वर्गों के वर्गमूलों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• √1 = 1
• √4 = 2
• √9 = 3
• √16 = 4
• √25 = 5
• √36 = 6
• √49 = 7
• √64 = 8
• √81 = 9
• √100 = 10

.

वर्गमूल सारणी (1 से 50 तक)

किसी संख्या का वर्गमूल वह संख्या होती है जिसे स्वयं से गुणा करने पर वह मूल संख्या प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, 9 का वर्गमूल 3 है क्योंकि 3 x 3 = 9।

निम्नलिखित सारणी 1 से 50 तक की संख्याओं के वर्गमूल दिखाती है:

दशमलव का वर्गमूल

एक दशमलव मान में डॉट (.) होगा जैसे 3.8, 5.2, 6.33, आदि। एक पूर्ण संख्या के लिए हम यह समझ चुके हैं कि वर्गमूल कैसे निकाला जाता है लेकिन आइए देखें कि दशमलव का वर्गमूल कैसे प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण: 0.09 का वर्गमूल निकालें।
मान लें $N^2 = 0.09$
दोनों पक्षों पर वर्गमूल लेने पर,

$N = ±√0.09$

जैसा कि हम जानते हैं,

$0.3$ × $0.3 = (0.3)^2 = 0.09$

इसलिए,

$N = ±√(0.3)^2$

$N = ±(0.3)$

ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल

ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल एक समिश्र संख्या होती है, जिसका अर्थ है कि इसमें एक वास्तविक भाग और एक काल्पनिक भाग होता है। वास्तविक भाग ऋणात्मक संख्या के परम मान के वर्गमूल के समान होता है, और काल्पनिक भाग -1 का वर्गमूल होता है, जिसे अक्षर i द्वारा दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए, -9 का वर्गमूल 3i है। ऐसा इसलिए है क्योंकि 9 का वर्गमूल 3 है, और -1 का वर्गमूल i है।

यहाँ ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल के कुछ अन्य उदाहरण दिए गए हैं:

• -16 का वर्गमूल 4i है।
• -25 का वर्गमूल 5i है।
• -36 का वर्गमूल 6i है।

ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल का उपयोग कई अनुप्रयोगों में किया जाता है, जैसे कि विद्युत अभियांत्रिकी, क्वांटम यांत्रिकी, और सिग्नल प्रोसेसिंग।

समिश्र संख्या का वर्गमूल

समिश्र संख्या का वर्गमूल एक समिश्र संख्या होती है जो स्वयं से गुणा करने पर मूल समिश्र संख्या उत्पन्न करती है। उदाहरण के लिए, $4 + 3i$ का वर्गमूल $2 + i$ है, क्योंकि $(2 + i)(2 + i) = 4 + 3i$।

किसी समिश्र संख्या का वर्गमूल निकालने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

$\sqrt {a + bi} = \pm \left(\sqrt {\frac{ \sqrt {a^2 + b^2 + a }}{2}} + i\sqrt {\frac{ \sqrt {a^2 + b^2 - a }}{2}}\right)$

जहाँ a और b क्रमशः समिश्र संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भाग हैं।

यहाँ जटिल संख्याओं के वर्गमूलों के कुछ अतिरिक्त उदाहरण दिए गए हैं:

• $ \sqrt {1 + i} = \pm \left(\sqrt {\frac{\sqrt 3}{2}} + \sqrt {\frac{\sqrt1}{2}}i \right)$
• $\sqrt {-1} = i$

वर्गमूल समीकरण को कैसे हल करें?

एक वर्गमूल समीकरण वह समीकरण होता है जिसमें एक वर्गमूल पद होता है। वर्गमूल समीकरण का सबसे सामान्य प्रकार द्विघात समीकरण है, जिसका रूप इस प्रकार होता है:

$ax^2 + bx + c = 0$

जहाँ $a, b,$ और $c$ नियतांक हैं और x चर है।

एक द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, आप द्विघात सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

$x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a$

जहाँ $√(b^2 - 4ac)$ विविक्तकर का वर्गमूल है।

उदाहरण:

द्विघात समीकरण को हल कीजिए:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

द्विघात सूत्र का उपयोग करते हुए, हमें मिलता है:

$x = (-(-4) ± √((-4)^2 - 4(1)(-5))) / 2(1)$

$x = (4 ± √(16 + 20)) / 2$

$x = (4 ± √36) / 2$

$x = (4 ± 6) / 2$

$x = 5$ या $x = -1$

इसलिए, द्विघात समीकरण $x^2 - 4x - 5 = 0$ के हल $x = 5$ और $x = -1$ हैं।

एक संख्या का वर्ग करना

किसी संख्या का वर्ग करना उस संख्या को स्वयं से गुणा करने की प्रक्रिया है। उदाहरण के लिए, 5 का वर्ग 5 * 5 = 25 है।

किसी संख्या का वर्ग करने के लिए विभिन्न विधियों का उपयोग किया जा सकता है, जिनमें शामिल हैं:

• कैलकुलेटर का उपयोग करना। यह किसी संख्या को वर्ग करने का सबसे सीधा तरीका है। बस कैलकुलेटर में संख्या डालें और “$x^2$” बटन दबाएँ।
• गुणा तालिका का उपयोग करना। आप गुणा तालिका की सहायता से भी किसी संख्या को वर्ग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 5 का वर्ग करने के लिए आप गुणा तालिका में 5 की पंक्ति खोजेंगे और फिर 5 को स्वयं से गुणा करेंगे।
• मानसिक गणित का उपयोग करना। यदि आप मानसिक गणित में अच्छे हैं, तो आप संख्या को अपने दिमाग में भी वर्ग कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आप पहले संख्या को स्वयं से गुणा करेंगे। फिर, आप मूल संख्या को उस गुणनफल में जोड़ देंगे। उदाहरण के लिए, 5 का वर्ग करने के लिए आप पहले 5 को स्वयं से गुणा करके 25 प्राप्त करेंगे। फिर, आप 25 में 5 जोड़कर 30 प्राप्त करेंगे।

संख्याओं को वर्ग करने के उदाहरण

यहाँ संख्याओं को वर्ग करने के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• $2^2 = 4 $
• $3^2 = 9$
• $4^2 = 16$
• $5^2 = 25$
• $6^2 = 36$
• $7^2 = 49$
• $8^2 = 64$
• $9^2 = 81$
• $10^2 = 100$

संख्याओं को वर्ग करने के अनुप्रयोग

संख्याओं को वर्ग करने के गणित और विज्ञान में विभिन्न अनुप्रयोग होते हैं। उदाहरण के लिए, संख्याओं को वर्ग करने का उपयोग निम्नलिखित में किया जाता है:

• किसी वर्ग का क्षेत्रफल निकालने के लिए।
• किसी घन का आयतन निकालने के लिए।
• दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए।
• द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए।
• द्विघात फलनों का ग्राफ खींचने के लिए।

संख्याओं को वर्ग करना गणित की एक मौलिक क्रिया है जिसके विस्तृत अनुप्रयोग हैं।

List of Square Roots of Numbers

किसी संख्या का वर्गमूल वह संख्या होती है जिसे स्वयं से गुणा करने पर वह मूल संख्या प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, 9 का वर्गमूल 3 है क्योंकि 3 × 3 = 9।

संख्याओं के वर्गमूल विभिन्न विधियों से निकाले जा सकते हैं, जिनमें शामिल हैं:

• बेबीलोनियन विधि: यह प्राचीन विधि है जो किसी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए क्रमिक सन्निकटन का उपयोग करती है।
• न्यूटन-रैफसन विधि: यह आधुनिक विधि है जो किसी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए कलन का उपयोग करती है।
• कैलकुलेटर: अधिकांश कैलकुलेटरों में किसी संख्या का वर्गमूल निकालने के लिए अंतर्निहित फ़ंक्शन होता है।

निम्न तालिका में पहली 100 संख्याओं के वर्गमूल दिए गए हैं:

वास्तविक जीवन में वर्गमूल के उदाहरण

किसी संख्या का वर्गमूल वास्तविक जीवन में कई अनुप्रयोग रखता है। उदाहरण के लिए:

• वर्ग के विकर्ण की लंबाई की गणना करने के लिए 2 का वर्गमूल प्रयोग किया जाता है।
• घन के आयतन की गणना करने के लिए 3 का वर्गमूल प्रयोग किया जाता है।
• गोल्डन अनुपात की गणना करने के लिए 5 का वर्गमूल प्रयोग किया जाता है, जो एक विशेष संख्या है जिसका कला और डिज़ाइन में कई अनुप्रयोग हैं।

किसी संख्या का वर्गमूल एक शक्तिशाली उपकरण है जिसका उपयोग विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। वर्गमूल की अवधारणा को समझकर, आप गणितीय संभावनाओं की एक नई दुनिया खोल सकते हैं।

वर्गमूल पर हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: एक पूर्ण वर्ग का वर्गमूल ज्ञात करना

144 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

हल:

चूँकि 144 एक पूर्ण वर्ग है (अर्थात् इसे किसी पूर्णांक के वर्ग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है), हम इसका वर्गमूल सीधे संख्या का वर्गमूल निकालकर ज्ञात कर सकते हैं।

√144 = 12

इसलिए, 144 का वर्गमूल 12 है।

उदाहरण 2: एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल ज्ञात करना

-9 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

हल:

किसी ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्या नहीं होता है। इसके बजाय, यह एक काल्पनिक संख्या होती है, जो एक ऐसी संख्या है जिसे किसी वास्तविक संख्या और काल्पनिक इकाई i के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ i = √-1।

इसलिए -9 का वर्गमूल √-9 = 3i है।

वर्गमूल पर अभ्यास प्रश्न

वर्गमूल पर अभ्यास प्रश्न

1. 144 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 12

व्याख्या: 144 का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए हम अभाज्य गुणनफल विधि का उपयोग कर सकते हैं। 144 = 12 × 12, इसलिए 144 का वर्गमूल 12 है।

2. 256 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 16

व्याख्या: 256 का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए हम अभाज्य गुणनफल विधि का उपयोग कर सकते हैं। 256 = 16 × 16, इसलिए 256 का वर्गमूल 16 है।

3. 400 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 20

व्याख्या: 400 का वर्गमूल निकालने के लिए हम अभाज्य गुणनफल विधि का उपयोग कर सकते हैं। 400 = 20 x 20, इसलिए 400 का वर्गमूल 20 है।

4. 625 का वर्गमूल निकालें।

उत्तर: 25

व्याख्या: 625 का वर्गमूल निकालने के लिए हम अभाज्य गुणनफल विधि का उपयोग कर सकते हैं। 625 = 25 x 25, इसलिए 625 का वर्गमूल 25 है।

5. 900 का वर्गमूल निकालें।

उत्तर: 30

व्याख्या: 900 का वर्गमूल निकालने के लिए हम अभाज्य गुणनफल विधि का उपयोग कर सकते हैं। 900 = 30 x 30, इसलिए 900 का वर्गमूल 30 है।

6. 1296 का वर्गमूल निकालें।

उत्तर: 36

व्याख्या: 1296 का वर्गमूल निकालने के लिए हम अभाज्य गुणनफल विधि का उपयोग कर सकते हैं। 1296 = 36 x 36, इसलिए 1296 का वर्गमूल 36 है।

7. 1600 का वर्गमूल निकालें।

उत्तर: 40

व्याख्या: 1600 का वर्गमूल निकालने के लिए हम अभाज्य गुणनफल विधि का उपयोग कर सकते हैं। 1600 = 40 x 40, इसलिए 1600 का वर्गमूल 40 है।

8. 1936 का वर्गमूल निकालें।

उत्तर: 44

व्याख्या: 1936 का वर्गमूल निकालने के लिए हम अभाज्य गुणनफल विधि का उपयोग कर सकते हैं। 1936 = 44 x 44, इसलिए 1936 का वर्गमूल 44 है।

9. 2304 का वर्गमूल निकालें।

उत्तर: 48

व्याख्या: 2304 का वर्गमूल निकालने के लिए हम अभाज्य गुणनफल विधि का उपयोग कर सकते हैं। 2304 = 48 x 48, इसलिए 2304 का वर्गमूल 48 है।

10. 2704 का वर्गमूल निकालें।

उत्तर: 52

व्याख्या: 2704 का वर्गमूल निकालने के लिए हम अभाज्य गुणनफल विधि का उपयोग कर सकते हैं। 2704 = 52 x 52, इसलिए 2704 का वर्गमूल 52 है।

वर्गमूल पर अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)

गणित में वर्गमूल क्या होता है?

गणित में वर्गमूल

किसी भी संख्या का वर्गमूल उस संख्या के बराबर होता है, जिसे वर्ग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। मान लीजिए m एक धनात्मक पूर्णांक है, ताकि $√(m.m) = √(m^2) = m$

गणित में, वर्गमूल फलन को एक-से-एक फलन के रूप में परिभाषित किया गया है जो एक धनात्मक संख्या को इनपुट के रूप में लेता है और दी गई इनपुट संख्या का वर्गमूल लौटाता है।

$f(x) = √x$

वर्गमूल के उदाहरण

यहाँ कुछ वर्गमूल के उदाहरण दिए गए हैं:

• √4 = 2
• √9 = 3
• √16 = 4
• √25 = 5
• √36 = 6
• √49 = 7
• √64 = 8
• √81 = 9
• √100 = 10

वर्गमूल के गुणधर्म

वर्गमूल के कुछ गुणधर्म निम्नलिखित हैं:

• किसी धनात्मक संख्या का वर्गमूल हमेशा धनात्मक होता है।
• किसी ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल हमेशा काल्पनिक होता है।
• 0 का वर्गमूल 0 होता है।
• 1 का वर्गमूल 1 होता है।
• दो संख्याओं के गुणनफल का वर्गमूल उन संख्याओं के वर्गमूलों के गुणनफल के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, √(9 x 16) = √9 x √16 = 3 x 4 = 12।
• दो संख्याओं के भागफल का वर्गमूल उन संख्याओं के वर्गमूलों के भागफल के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, √(9 / 16) = √9 / √16 = 3 / 4 = 0.75।

वर्गमूल कैसे निकालें?

वर्गमूल कैसे निकालें

किसी संख्या का वर्गमूल वह संख्या होती है जिसे स्वयं से गुणा करने पर वही मूल संख्या प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, 9 का वर्गमूल 3 है क्योंकि 3 × 3 = 9।

किसी संख्या का वर्गमूल निकालने के कुछ अलग-अलग तरीके होते हैं। एक तरीका है कैलकुलेटर का उपयोग करना। बस संख्या को कैलकुलेटर में दर्ज करें और फिर वर्गमूल बटन दबाएं।

किसी संख्या का वर्गमूल निकालने का एक अन्य तरीका निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करना है:

$√x = x^{1/2}$

जहाँ x वह संख्या है जिसका वर्गमूल आप निकालना चाहते हैं।

उदाहरण के लिए, 9 का वर्गमूल निकालने के लिए, आप निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करेंगे:

$√9 = 9^{1/2} = 3$

इस प्रतीक ‘√’ का क्या अर्थ है?

प्रतीक ‘√’ वर्गमूल के लिए गणितीय प्रतीक है। इसका उपयोग किसी संख्या के धनात्मक वर्गमूल को दर्शाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, 9 का वर्गमूल 3 है, जिसे √9 = 3 के रूप में लिखा जा सकता है।

किसी संख्या का वर्गमूल वह संख्या होती है जिसे स्वयं से गुणा करने पर वही मूल संख्या प्राप्त होती है। दूसरे शब्दों में, यदि x, y का वर्गमूल है, तो $x^2 = y.$

वर्ग और वर्गमूल क्या होते हैं?

वर्ग

गणित में, वर्ग एक समचतुर्भुज होता है, जिसका अर्थ है कि इसकी चारों भुजाएं बराबर होती हैं और चारों कोण समकोण होते हैं। वर्ग समांतर चतुर्भुज भी होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनकी विपरीत भुजाएं समानांतर होती हैं।

किसी वर्ग का क्षेत्रफल एक भुजा की लंबाई के वर्ग के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी वर्ग की भुजा की लंबाई 5 इकाई है, तो उसका क्षेत्रफल $5^2 = 25$ वर्ग इकाई होगा।

एक वर्ग का परिमाप उसकी चारों भुजाओं की लंबाइयों के योग के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी वर्ग की भुजा की लंबाई 5 इकाई है, तो उसका परिमाप $4 \times 5 = 20$ इकाई होगा।

वर्गमूल

किसी संख्या का वर्गमूल वह संख्या होती है जिसे स्वयं से गुणा करने पर वही मूल संख्या प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, 9 का वर्गमूल 3 है क्योंकि $3 \times 3 = 9$।

वर्गमूल धनात्मक या ऋणात्मक हो सकते हैं। किसी संख्या का धनात्मक वर्गमूल वह संख्या होती है जिसे सामान्यतः “वर्गमूल” कहने पर समझा जाता है। किसी संख्या का ऋणात्मक वर्गमूल वह संख्या होती है जिसे स्वयं से गुणा करने पर भी वही मूल संख्या प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, 9 का ऋणात्मक वर्गमूल -3 है क्योंकि $-3 \times -3 = 9$।

उदाहरण

यहाँ वर्गों और वर्गमूलों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• 5 का वर्ग 25 है।
• 9 का वर्गमूल 3 है।
• -4 का वर्ग 16 है।
• -9 का वर्गमूल -3 है।

पूर्ण वर्गों का वर्गमूल कैसे निकालें?

किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल निकालने में वह संख्या ज्ञात करनी होती है जिसे स्वयं से गुणा करने पर वही दिया गया पूर्ण वर्ग प्राप्त हो। यहाँ चरणबद्ध व्याख्या उदाहरणों सहित दी गई है:

चरण 1: पूर्ण वर्क की पहचान करें

• एक पूर्ण वर्ग वह संख्या होती है जिसे दो समान गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सके। उदाहरण के लिए, 9 एक पूर्ण वर्ग है क्योंकि इसे 3 x 3 के रूप में लिखा जा सकता है।

चरण 2: अभाज्य गुणनफल निकालना

• अभाज्य गुणनफल निकालने में किसी संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ा जाता है, जो ऐसी संख्याएँ होती हैं जो स्वयं और 1 के अलावा किसी अन्य संख्या से विभाजित नहीं होतीं।
• उदाहरण के लिए, 36 का अभाज्य गुणनफल 2 x 2 x 3 x 3 है।

चरण 3: अभाज्य गुणनखंडों को जोड़े बनाएँ

• अभाज्य गुणनखंडों को समान जोड़ों में समूहित करें।
• 36 के मामले में, हमारे पास दो 2 और दो 3 हैं।

चरण 4: जोड़े बनाए गए गुणनखंडों को गुणा करें

• जोड़े बनाए गए गुणनखंडों को गुणा करके वर्गमूल प्राप्त करें।
• 36 के लिए, वर्गमूल √(2 x 2) x √(3 x 3) = 2 x 3 = 6 है।