श्रीधराचार्य सूत्र क्या है?

द्विघात समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनका रूप $ax^2 + bx + c = 0$ होता है, जहाँ $a$, $b$ और $c$ नियतांक तथा $x$ चर होता है। श्रीधराचार्य सूत्र द्विघात समीकरणों को हल करने की एक विधि है जिसे 12वीं सदी के भारतीय गणितज्ञ श्रीधर ने विकसित किया था।

श्रीधराचार्य सूत्र

श्रीधराचार्य सूत्र कहता है कि द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के हल इस प्रकार दिए जाते हैं:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

जहाँ:

• $a$, $b$ और $c$ द्विघात समीकरण से आए नियतांक हैं
• $x$ चर है

श्रीधराचार्य सूत्र का उपयोग कैसे करें

श्रीधराचार्य सूत्र का उपयोग करने के लिए बस $a$, $b$ और $c$ के मान सूत्र में डालें और $x$ के लिए हल करें।

उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण $2x^2 + 3x - 5 = 0$ को हल करने के लिए हम $a = 2$, $b = 3$ और $c = -5$ सूत्र में डालेंगे:

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-5)}}{2(2)}$$

इस व्यंजक को सरल करने पर हमें मिलता है:

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4}$$

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{4}$$

$$x = \frac{-3 \pm 7}{4}$$

इसलिए द्विघात समीकरण $2x^2 + 3x - 5 = 0$ के हल $x = 1$ और $x = -5/2$ हैं।

श्रीधराचार्य सूत्र के लाभ

श्रीधराचार्य सूत्र द्विघात समीकरणों को हल करने की एक सरल और सीधी विधि है। यह बहुत ही कुशल भी है और इसका उपयोग किसी भी गुणांकों वाले द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है।

श्रीधराचार्य सूत्र की कमियाँ

श्रीधराचार्य सूत्र को याद रखना कठिन हो सकता है, और इसका प्रयोग करते समय गलतियाँ हो सकती हैं। इसके अतिरिक्त, यह सूत्र उन द्विघात समीकरणों के लिए काम नहीं करता है जिनके मूल सम्मिश्र होते हैं।

श्रीधराचार्य सूत्र द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है। इसका प्रयोग करना सरल और अत्यंत कार्यक्षम है, परंतु इसे याद रखना कठिन हो सकता है और यह सम्मिश्र मूलों वाले द्विघात समीकरणों पर काम नहीं करता।

श्रीधराचार्य सूत्र का उपयोग करके हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1

द्विघात समीकरण $x^2 - 4x - 5 = 0$ को श्रीधराचार्य सूत्र का उपयोग करके हल कीजिए।

हल:

दिए गए समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ से करने पर, हमें प्राप्त होता है $a = 1$, $b = -4$, और $c = -5$। इन मानों को श्रीधराचार्य सूत्र में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)}$$

इस व्यंजक को सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$$

$$x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2}$$

$$x = \frac{4 \pm 6}{2}$$

अतः समीकरण $x^2 - 4x - 5 = 0$ के मूल हैं $x = 5$ और $x = -1$।

उदाहरण 2

द्विघात समीकरण $2x^2 + 3x - 5 = 0$ को श्रीधराचार्य सूत्र का उपयोग करके हल कीजिए।

हल:

दिए गए समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ से करने पर, हमें प्राप्त होता है $a = 2$, $b = 3$, और $c = -5$। इन मानों को श्रीधराचार्य सूत्र में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-5)}}{2(2)}$$

इस व्यंजक को सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4}$$

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{4}$$

$$x = \frac{-3 \pm 7}{4}$$

इसलिए, समीकरण (2x^2 + 3x - 5 = 0) के हल (x = 1) और (x = -\frac{5}{2}) हैं।