निरंतरता और भिन्नता
परिभाषा:
$\quad \quad $ यदि किसी फलन का ग्राफ बिना किसी टूट या छलांग के हो, तो उसे सतत फलन कहा जाता है। वह फलन जो सतत नहीं होता, उसे असतत फलन कहा जाता है।
किसी बिंदु पर फलन की सांतत्यता :
$\quad \quad $ एक फलन $f(x)$ को उसके प्रांत के किसी बिंदु $x=a$ पर सतत कहा जाता है यदि
$ \lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a) $
$\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=f(a)$
बायीं और दायीं ओर से सांतत्यता :
$\quad \quad $ फलन $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ को कहा जाता है
$\quad $ बायीं ओर से सतत $x=a$ पर यदि $\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=f(a) \quad$
$\quad $ दायीं ओर से सतत $x=a$ पर यदि $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=f(a)$
$\quad \quad $ इस प्रकार एक फलन $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ किसी बिंदु $\mathrm{x}=\mathrm{a}$ पर सतत होता है यदि वह $\mathrm{x}=\mathrm{a}$ पर बायीं ओर से भी सतत हो और दायीं ओर से भी सतत हो।
एक अंतराल में सांतत्यता :
एक फलन $f(x)$ खुले अंतराल (a, b) में सतत होता है यदि वह अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर सतत हो।
एक फलन $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ बंद अंतराल [a, b] में सतत होता है यदि वह (a, b) में सतत हो
$\mathrm{x}=\mathrm{a}$ पर दायीं ओर से सतत हो
$\mathrm{x}=\mathrm{b}$ पर बायीं ओर से सतत हो
सतत फलन :
$\quad \quad$ एक फलन को सतत फलन कहा जाता है यदि वह अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर सतत हो। कुछ सतत फलनों के उदाहरण निम्नलिखित हैं:
$ f(x)=x$ (पहचान फलन)
$ f(x)=c$ (अचर फलन)
$ f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\ldots . .+a^{n}$ (बहुपद फलन)
$ f(x)=\sin x, \cos x$ (त्रिकोणमितीय फलन)
$ f(x)=a^{x}, e^{x}, e^{-x}$ (घातांकी फलन)
$ f(x)=\log x$ (लघुगणकीय फलन)
$ f(x)=\sinh x, \cosh x, \tanh x$ (अतिपरवलय फलन)
$ f(x)=|x|, x+|x|, x-|x|, x|x|$ (परम मान फलन)
असतत फलन :
$\quad \quad $ एक फलन को असतत फलन कहा जाता है यदि वह अपने प्रांत में कम से कम एक बिंदु पर असतत हो। कुछ असतत फलनों के उदाहरण निम्नलिखित हैं:
| क्र. | फलन | असतता के बिंदु |
|---|---|---|
| (i) | $\lfloor x \rfloor$ | प्रत्येक पूर्णांक |
| (ii) | $x - \lfloor x \rfloor$ | प्रत्येक पूर्णांक |
| (iii) | $\frac{1}{x}$ | $x = 0$ |
| (iv) | $\tan x, \sec x$ | $x = \pm\frac{\pi}{2}, \pm\frac{3\pi}{2}, \ldots$ |
| (v) | $\cot x, \csc x$ | $x = 0, \pi, +2\pi, \ldots$ |
| (vi) | $\frac{1}{\sin x}, \frac{1}{\cos x}$ | $x = 0$ |
| (vii) | $e^{1/x}$ | $x = 0$ |
| (viii) | $\cot x, \csc x$ | $x = 0$ |
सतत फलनों के गुण :
दो सतत फलनों का योग, अंतर, गुणनफल, भागफल (यदि $\mathrm{Dr} \neq 0$) और संयुक्त फलन सदैव सतत फलन होते हैं।
यदि $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ और $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ सतत फलन हैं, तो निम्नलिखित भी सतत फलन हैं:
- $f(x)+g(x)$
- $f(x)-g(x)$
- $f(x) \cdot g(x)$
- $\lambda f(x)$, जहाँ $\lambda$ एक अचर है
- $\frac{\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{g}(\mathrm{x})}$, यदि $\mathrm{g}(\mathrm{x}) \neq 0$
- $\mathrm{f}[\mathrm{g}(\mathrm{x})]$
महत्वपूर्ण बिंदु :
किसी फलन $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ का $\mathrm{x}=$ a पर असंतत होना दो तरीकों से हो सकता है
यदि $\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)$ अस्तित्व में है परंतु $\neq f(a)$ या $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ अस्तित्व में है परंतु $\neq f(a)$, तो फलन $f(x)$ को हटाने योग्य असंतति कहा जाता है।
जब $\lim _{\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{a}} \mathrm{f}(\mathrm{x})$ अस्तित्व में नहीं होता, तो फलन $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ को अहटाने योग्य असंतति कहा जाता है।
$ \text { अर्थात् } \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x) $
किसी बिंदु पर अवकलनीयता
$\quad \quad$ मान लीजिए $f(x)$ एक वास्तविक मान फलन है जो एक खुले अंतराल $(a, b)$ पर परिभाषित है और मान लीजिए $c \in(a, b)$। तब $f(x)$ को $x=c$ पर अवकलनीय या व्युत्पन्ननीय कहा जाता है, यदि $\lim _{x \rightarrow c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}$ \quad सीमित रूप से अस्तित्व रखता है
$\quad \quad$ इस सीमा को फलन $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ का $\mathrm{x}=\mathrm{c}$ पर अवकलज या अवकलन गुणांक कहा जाता है, और इसे $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{c})$ द्वारा दर्शाया जाता है।
- बायाँ-पक्ष अवकलज (LHD)
$\quad \quad$ यदि $f(x)$, $c$ के किसी आस-पास परिभाषित है और सीमा $ \lim _{h \rightarrow 0^-} \frac{f(c-h)-f(c)}{h} $ $\quad \quad$ अस्तित्व में है, तो इसे $f(x)$ का $x = c$ पर बायाँ-पक्ष अवकलज कहा जाता है और इसे $f’(c^-)$ या $Lf f’(c)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
- दायाँ-पक्ष अवकलज (RHD)
$\quad \quad$ यदि $f(x)$, $c$ के किसी आस-पास परिभाषित है और सीमा $ \lim _{h \rightarrow 0^+} \frac{f(c+h)-f(c)}{h} $ $\quad \quad$ अस्तित्व में है, तो इसे $f(x)$ का $x = c$ पर दायाँ-पक्ष अवकलज कहा जाता है और इसे $f’(c^+)$ या $Rf f’(c)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$\quad \quad$ यदि $Lf f’(c) \neq Rf f’(c)$, तो हम कहते हैं कि $f(x)$, $x=c$ पर अवकलनीय नहीं है।
समुच्चय में अवकलनीयता :
$\quad \quad$ एक फलन $f(x)$ जो खुले अंतराल $(a, b)$ पर परिभाषित है, को खुले अंतराल $(a, b)$ में अवकलनीय या अवकल्य कहा जाता है यदि वह $(a, b)$ के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है।
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